Парадоксы, апории Зенона: значение, смысл. Апории зенона - ахиллес и другие - новый взгляд Апории зенона и их методологический смысл

Древнегреческой философии. Основой её учения являлась идея и том, что первооснова мира пребывает неизменно как в пространстве, так и во времени. Для обоснования этой мысли Зенон развивал остроумные диалектические рассуждения, получившие название «апорий» (от греческого слова «трудность», «безвыходность»). Ими он старался доказать, что привычные нам представления о множественности и движении не имеют ничего общего с истинной реальностью, что они – лишь чувственная иллюзия, противоречащая рассудку.

Апории Зенона против множественности

В самых простых понятиях множества и величины заключаются противоречащие друг другу понятия конечного и бесконечного. Уже пифагорейцы весь мир слагали из этих двух противоположностей. Рассмотрим аргументы («апории») Зенона против материального множества, вытекающие из указанных противоречий.

Множество равно себе по количеству и не может быть ни больше ни меньше себя самого, – постольку оно есть определенное множество; вместе с тем оно беспредельно, ибо между частями множества есть всегда нечто, их разделяющее; между разделяемым и разделяющим есть еще нечто и т. д. до бесконечности. Рассматривая эту апорию, надо иметь в виду аргументацию Парменида : сущее (существующее) может быть отделено от сущего только чем-нибудь сущим, так как небытие потому и небытие, что его нет совершенно.

Другая апория Зенона: если существует множество вещей, то они вместе бесконечно малы и бесконечно велики, ибо всякая вещь состоит из частей, всякая часть – из других частей, и так далее до бесконечности. При этом каждая часть отделена чем-либо «сущим» от других. Отсюда вытекает, что вещей – бесконечное множество и что каждая из них, занимая бесконечное пространство бесконечностью частей – сама бесконечно велика. С другой стороны, так как всякая частица отделена от другой бесконечным множеством, каждая из них бесконечно мала; отделенная от всех частиц, она сама не имеет частей. Постольку она не имеет и величины; прибавленная к чему-либо, она не может ничего собою увеличить, а потому все вещи, состоя из бесконечно-малых частей, сами бесконечно малы или не имеют величины. Материя имеет и не имеет величины, есть великое и малое, бесконечно-великое и бесконечно-малое, откуда и вытекает, по Зенону, ложность видимых явлений.

Всякая протяженная величина может рассматриваться по произволу и как бесконечно-великая, и как бесконечно-малая; состоя из бесконечного множества бесконечно малых частей, она бесконечно мала в пространстве; с другой стороны, она занимает пространство, которое внутренне во всех частях своих всюду бесконечно, и постольку сама является бесконечно-великой. Отсюда возникают все паралогизмы о материи, столь занимавшие философию. Из сознания несоответствия между пространством и данным чувственным протяжением является проблема бесконечной делимости материи; если есть непротяженные части, конечные математические точки, то их сумма не может составить чего-либо протяженного; если же части протяженного сами протяженны, то они не конечны, будучи делимы до бесконечности. Оба решения одинаково неудовлетворительны: бесконечное не слагается из конечного и конечное не слагается из бесконечного. Следовательно, вещи, которые, по-видимому, наполняют пространство, на самом деле оставляют его пустым. Указывают на то, что вещи лишь делимы, но не разделены; но все же остается непонятным, каким образом конечные вещи могут занимать пространство, которое, будучи непрерывно, в то же время всюду бесконечно.

Апории Зенона против пространства

Апории Зенона доказывают, что вещи не могут наполнить пространства и что оно может быть наполнено лишь тою неделимою сферою, о которой учил Парменид . Но тут является новое затруднение. Круглая сфера Парменида имеет в себе свой предел, между тем как пространство беспредельно не только внутренним но и внешним образом: следовательно, «сфера» может занимать лишь ограниченное место в пространстве. Таким именно было представление пифагорейцев, которые вне мира допускали пустую беспредельность. Но Зенон для разрешения этого затруднения исследует само понятие места. Своими апориями он доказывает, что понятие места ложно; все, что существует в пространстве, имеет место; если место существует в пространстве, то оно также имеет место; место этого места точно так же, и т. д. до бесконечности; бесконечность же не может быть местом, ибо в противоположном случае она предполагала бы новую бесконечность мест. Место не имеет места в пространстве; умопостигаемая сфера Парменида не имеет места, потому что она всеобъемлюща; место предполагает пустоту, а пустоты, как мы знаем, нет вовсе; вот и другой аргумент против понятия места и связанных с ним понятий движения и материального множества, аргумент, которым затем воспользовался другой представитель элейской школы – Мелисс .

Апории Зенона против движения

Апории Зенона против возможности движения также очень замечательны и важны. Движение не может совершиться в данный промежуток времени, потому что пространство заключает в себе бесконечность. Ахиллес никогда не может догнать черепахи, как бы мало она ни была впереди его, ибо всякий раз, как он при всей скорости своего бега ступит на место, которое перед тем занимала черепаха, она несколько подается вперед; как бы ни уменьшалось разделяющее их пространство, оно все-таки бесконечно.

Положим, что Ахиллес бежит в 10 раз скорее черепахи, которая движется впереди его; пусть он отстал от нее на расстояние версты. Вопрос: каким образом он может ее догнать? Ведь в то время как он пройдет версту, она успеет подвинуться на 1/10 версты, когда он пройдет и это расстояние, – она опередит его на 1/100 версты и т.д. Расстояние может уменьшиться до бесконечности, а Ахиллес все-таки не догонит черепахи. Но он догонит ее, если пробежит 10/9 своего пути, так как в это время черепаха пройдет всего 1/9. Однако трудность для мысли все-таки останется; ведь мы знаем, что в действительности не только Ахиллес, а и каждый из нас догонит черепаху, но для философа ставится вопрос о мыслимости движения вообще, как Зенон доказывает это в следующей апории, являющейся вариантом только что изложенной: для того чтобы пройти известное расстояние, должно пройти его половину, половину половины и т. д. целую бесконечность. Нельзя в конечное время пройти бесконечное пространство.

Обыкновенно возражают на то, что Зенон упускает из виду бесконечность времени, которая покрывает собою бесконечность пространства. Но и это возражение несущественно: движение столь же мало наполняет время, как вещество пространство. Против этого, в доказательство параллельности времени и пространства, у Зенона есть знаменитая апория о неподвижности «летящей стрелы»: такая стрела не движется, ибо в каждый данный момент времени она занимает данное место пространства; а если она неподвижна в каждую данную единицу времени, – она неподвижна и в данный промежуток его. Движущееся тело не движется ни в том месте, которое оно занимает, ни в том, которого оно не занимает.

На это возражают, что непрерывно движущееся тело не занимает определенного места и, наоборот, переходит из одного места в другое. Но это-то и доказывает нереальность движения: если пространство и время непрерывны, то в них нет промежутков, а следовательно, нет отдельных времен и мест: и движение также не может разделить времени, как вещи не могут разделить пространства. Таким образом, Парменид оказывается правым перед теми, кто не подвергает сомнению «истинность» эмпирической действительности. Мир чувственных вещей не может действительно заполнить того пространства и времени, которое он, по-видимому, занимает. Пространство и время наполнены единой и неделимой, непрерывной и абсолютно плотной сферой Парменида, вечно неподвижной.

От Зенона дошли до нас и другие апории, также стремящиеся показать обманчивость чувственных восприятий даже в их собственной сфере. Если высыпать меру зерна, она производит шум; если уронить одно зерно, то шума нет; но если куча издает звук, то – и зерна, отдельные части ее; если зерно не звучит, то не звучит и самая куча. Другая апория направлена опять против движения, доказывая его относительность: два тела, движущиеся с равной скоростью, проходят в равное время одинаковое пространство; но одно тело проходит вдоль другого вдвое большее протяжение, если это второе тело движется с равной скоростью в противоположном направлении.

Обе эти апории хотя и носят софистический характер, но вполне доказывают относительность чувственного восприятия и движения. Будучи в вагоне, мы можем обмануться на станции, когда мимо нас идет другой поезд, и мы не знаем, движемся ли мы или стоим, хотя в этом можно удостовериться: стоит лишь взглянуть на другую сторону. Но если мы предположим в пустом пространстве только два тела, из которых одно движется, а другое неподвижно, то невозможно будет определить, которое именно из них находится в движении.

Итак, апории Зенона показали, что в понятиях пространства и времени заключаются противоречия, неразрешимые антиномии. Пространство и время суть формы явлений; Зенон усомнился в истинности этих явлений, признав их за формы неистинного бытия – ненаполненного, призрачного, пустого. В новое время, отчасти примыкая к Зенону, ту же мысль – хотя и с другой стороны – развил Кант , признавший пространство и время за продукт нашей чувственности, за те субъективные формы, в которых воспринимаются явления.

Зенон первый усомнился в подлинной истинности этих форм бытия, и, таким образом, впервые дал основание идеалистическому миросозерцанию, обозначил разницу между являющимся и мыслимым сущим – то, что немецкие философы потом называли греческими терминами: φαινόμενον и νοούμενον (феномен – бытие, явленное в чувствах, и ноумен – умопостигаемое, мыслимое бытие).

Элейская философская школа (элеаты) существовала в конце - первой половине V века до н. э. , родоначальниками её считаются Ксенофан и Парменид , учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учении о бытии. Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной есть искусственное разделение . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Познание этого целостного мира возможно только путём разумных рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива . При этом геометрический (и вообще математический) метод познания, характерный для пифагорейцев , элеаты также считали уступкой чувственной очевидности, предпочитая чисто логический подход. С этих же позиций они впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью .

В двух апориях (Ахиллес и Дихотомия) предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы; Зенон показывает, что это допущение приводит к логическим трудностям. Третья апория («Стрела»), напротив, рассматривает время как дискретное, составленное из точек-моментов; в этом случае, как показал Зенон, возникают другие трудности . Отметим, что неправильно утверждать, будто Зенон считал движение несуществующим, потому что, согласно элейской философии, доказать несуществование чего бы то ни было невозможно: «несуществующее немыслимо и невыразимо» . Цель аргументации Зенона была более узкой: выявить противоречия в позиции оппонента.

Часто в число апорий движения включают «Стадион» (см. ниже), но по тематике этот парадокс скорее относятся к апориям бесконечности. Далее содержание апорий пересказывается с использованием современной терминологии.

Под влиянием возникших философских споров сформировались два взгляда на строение материи и пространства: первый утверждал их бесконечную делимость, а второй - существование неделимых частиц, «атомов ». Каждая из этих школ решала поставленные элеатами проблемы по-своему.

Ахиллес и черепаха

«В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Критика апорий Аристотелем

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Эпикур Самосский

Как следствие, наблюдаемое движение из непрерывного становится скачкообразным. Александр Афродисийский , комментатор Аристотеля, так изложил взгляды сторонников Эпикура: «Утверждая, что и пространство, и движение, и время состоят из неделимых частиц, они утверждают также, что движущееся тело движется на всем протяжении пространства, состоящего из неделимых частей, а на каждой из входящих в него неделимых частей движения нет, а есть только результат движения» . Подобный подход сразу обесценивает парадоксы Зенона, так как убирает оттуда все бесконечности.

Обсуждение в Новое время

Полемика вокруг зеноновских апорий продолжилась и в Новое время. До XVII века интерес к апориям не отмечается, и их аристотелевская оценка являлась общепринятой. Первое серьёзное исследование предпринял французский мыслитель Пьер Бейль , автор известного «Исторического и критического словаря» (). В статье о Зеноне Бейль подверг критике позицию Аристотеля и пришёл к выводу, что Зенон прав: понятия времени, протяжённости и движения связаны с трудностями, непреодолимыми для человеческого ума .

Сходные с апориями темы затронуты в антиномиях Канта . Гегель в своей «Истории философии» подчеркнул, что Зенонова диалектика материи «не опровергнута до сегодняшнего дня» (ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) . Гегель оценил Зенона как «отца диалектики» не только в античном, но и в гегелевском смысле слова диалектика . Он отметил, что Зенон различает чувственно воспринимаемое и мыслимое движение. Последнее, в соответствии со своей философией, Гегель описал как сочетание и конфликт противоположностей, как диалектику понятий . Гегель не даёт ответа на вопрос, насколько этот анализ приложим к реальному движению, ограничившись выводом: «Зенон осознал определения, содержащиеся в наших представлениях о пространстве и времени, и обнаружил заключающиеся в них противоречия»

Во второй половине XIX века анализом парадоксов Зенона занимались многие учёные, высказывавшие самые разные точки зрения. Среди них :

и многие другие.

Современная трактовка

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями - ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий . О проблеме адекватности реального движения и его математической модели см. следующий раздел данной статьи.

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения . С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»

Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой : «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкую точку зрения можно найти у Анри Бергсона :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным , то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени . Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы - в частности, в связи с проектами единой теории поля , - однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум . Пример неконтинуальной теории движения предложил Садео Шираиши .

Адекватность аналитической теории движения

Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем . Математической основой теории служит математический анализ , первоначально опиравшийся на понятие бесконечно малой величины. В дискуссии о том, что собой представляет бесконечно малая, вновь возродились два античных подхода .

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век . Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке . Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа ). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века . Его анализ построен на обычных вещественных числах , а для анализа непрерывных зависимостей используется теория пределов . Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон , Даламбер и Лагранж , хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физика удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV - бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу - инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются) . Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел .

Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика , показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.

Другие апории Зенона

Вышеприведенные (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом: .

С. А. Яновская предлагает иное истолкование, основанное на атомистических предпосылках :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, т. е. в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории <Стрела>.

По другим интерпретациям, эта апория аналогична парадоксу Галилея : бесконечное множество может быть равномощно своей части.

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира .

Сходные вопросы обсуждаются в диалоге Платона «Парменид» , где Зенон и Парменид обстоятельно разъясняют свою позицию. На современном языке данное рассуждение Зенона означает , что множественное бытие не может быть актуально бесконечно и поэтому должно быть конечно, но к существующим вещам всегда можно добавить новые, что противоречит конечности. Вывод: бытие не может быть множественным.

Комментаторы обращают внимание на то, что данная апория по своей схеме чрезвычайно напоминает открытые на рубеже XIX -XX веков антиномии теории множеств , особенно парадокс Кантора : с одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности (теорема Кантора). Это противоречие, вполне в духе апории Зенона, разрешается однозначно: абстракция множества всех множеств признаётся недопустимой и несуществующей как научное понятие.

Мера

Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и свое предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными… У чего нет совершенно ни величины, ни толщины, ни объёма, того и вовсе нет.

Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения.

Более подробно эти же аргументы присутствуют в комментариях Филопона . Также аналогичные рассуждения Зенона цитирует и критикует Аристотель в своей «Метафизике» :

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее - это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это - всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

В изложении Аристотеля апория утверждает: если всё существующее помещается в известном пространстве (месте , греч. топос ), то ясно, что будет и пространство пространства, и так идёт в бесконечность . Аристотель замечает на это, что место не есть вещь и не нуждается в собственном месте. Данная апория допускает расширенное толкование, поскольку элеаты не признавали пространство отдельно от тел, в нём расположенных, то есть отождествляли материю и пространство, ею занимаемое . Хотя Аристотель и отвергает рассуждение Зенона, но в своей «Физике» он приходит по существу к тому же выводу, что и элеаты: место существует лишь относительно тел, в нём находящихся. При этом Аристотель обходит молчанием естественный вопрос, как происходит изменение места при движении тела .

Медимн зерна

Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука - отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории - доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна . Аналогичные парадоксы предложил в IV веке до н. э. Евбулид - парадоксы «Лысый» и «Куча»: «одно зерно - не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?»

Историческое значение апорий Зенона

«Зенон вскрыл противоречия, в которые впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории - это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного» . Чёткое различение потенциальной и актуальной бесконечности у Аристотеля - во многом результат осмысления зеноновских апорий. Другие исторические заслуги элейских парадоксов:

Как уже отмечалось выше, формирование античного атомизма было попыткой дать ответ на вопросы, поставленные апориями. В дальнейшем к исследованию вопроса привлекались математический анализ , теория множеств , новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса, но сам факт непрерывного живого интереса к древней проблеме показывает её эвристическую плодотворность.

Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе . В заключении этой статьи автор приходит к выводу:

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

В этом историческом анекдоте «мудрец брадатый» - это сторонник Зенона (комментатор Элиас, как сказано выше, приписывал аргументацию самому Зенону ), а его оппонентом в разных вариантах анекдота выступает Диоген или Антисфен (оба они жили существенно позднее Зенона, так что с ним самим спорить не могли). Одна из версий анекдота, упоминаемая Гегелем , сообщает, что когда элеат признал аргумент Диогена убедительным, Диоген побил его палкой за чрезмерное доверие к очевидности .

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

См. также

Примечания

, с. 90
, часть 14
, 29. ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ
, с. 15-16
, с. 116-118
Ивин А. А. По законам логики . - М .: Молодая гвардия, 1983. - 208 с. - («Эврика»).
Большая советская энциклопедия // Апория .
, часть 16
Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия . - М .: Советская энциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия . - М .: Высшая школа, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0
, часть 15
, с. 50-52
, с. 18-20
, Яновская С. А.
, с. 21
«Физика» Аристотеля.
, с. 29-30
, с. 38
Лурье С. Очерки из истории античной науки. - М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, с. 31-35
, с. 35-41
Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. - М .: Соцэкгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. - СПб. , 1902.
Papa-Grimaldi, Alba. Why Mathematical Solutions of Zeno"s Paradoxes Miss the Point: Zeno"s One and Many Relation and Parmenides" Prohibition . The Review of Metaphysics (1996). Архивировано из первоисточника 28 августа 2011.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М ., 1979. - С. 40.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика . - 3-е изд.. - М .: МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6
, с. 93
Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. - М .: Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7
Николя Бурбаки . Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М .: Иностранная литература, 1963. - С. 38.
van Bendegem, Jean Paul (1987). «Discussion:Zeno"s Paradoxes and the Tile Argument ». Philosophy of Science 54 : 295-302. Проверено 2010-02-27.
Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. - 5-е изд., перераб. и доп.. - М .: Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М .: Мир, 1984. - С. 401-402.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ . - М .: Наука, 1987.
Гайденко П. П. Понятие времени и проблема континуума . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 10 января 2011.
Silagadze, Z. K. Zeno meets modern science (англ.) . Архивировано
Блинников Л. В. Краткий словарь философских персоналий . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 апреля 2010.
, с. 127
Zeno’s Paradoxes , Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Зенон Элейский . - Энциклопедия Кругосвет. Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 30 декабря 2010.
Аристотель. Метафизика , книга I, глава IV.
Аристотель. Физика, IV, 1, 209а.
, с. 124-129
Ивин А. А. Логика. Учебное пособие, глава 7 .
, с. 122-124
, с. 27
, с. 89
ДВИЖЕНИЕ.
, с. 19
Кэрролл, Льюис. Двухчастная инвенция, или Что черепаха сказала Ахиллесу // Знание - сила . - 1991. - № 9. - С. 6-12.
Валери, Поль. Кладбище у моря.

Литература

Античные авторы

Античные философы о Зеноне . Архивировано из первоисточника 14 августа 2011. Проверено 21 декабря 2010.
Аристотель. Физика . - В сборнике: Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. - Харьков: ЭКСМО, 1999. - 1056 с. - ISBN 5-04-003348-6
Платон. Парменид . - В сборнике: Платон, Сочинения в трёх томах. - М .: Мысль, 1968-1972. - (Философское наследие).
Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики . - М .: Наука, 1989. - 576 с.

Книги современных авторов

Асмус В. Ф. История античной философии. - М .: Высшая школа, 1965. - С. 40-45.
Гайденко П. П. . - М .: Наука, 1980.
История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1970. - Т. I. - С. 88-93.
Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского: попытка реконструкции системы аргументов // Вестник ЛГУ . - Л. , 1988.
Кузнецов Б. Г. Эволюция картины мира. - 1-е изд. (2-е издание: УРСС, 2010). - М .: Издательство АН СССР, 1961. - 352 с. - (Из наследия мировой философской мысли: философия науки). - ISBN 978-5-397-01479-3 .
Маковельский А. О. Досократики. В 3 томах . - Минск: Харвест, 1999. - 784 с. - (Классическая философская мысль). .
Смородинов Р. А. Философия последовательного сомнения. - Волгоград: Принт, 2006. - С. 41-68.
Grünbaum A. Modern science and Zeno"s Paradoxes. - Allen & Unwin, 1968. - 153 p. - ISBN 978-0045130047
Guénon R. Les Principes du Calcul infinitésimal. - Gallimard, 1946 и многочисленные переиздания. - «Принципы вычисления бесконечно малых»
Salmon W. C. (editor) Zeno’s paradoxes. - 2nd ed.. - Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., 2001. - 320 p. - ISBN 978-0872205604

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

Сватковский В. П. Парадокс Зенона о летящей стреле // Журнал Министерства народного просвещения . - 1888. - № 4 отд. 5. - С. 203-239.
Херсонский Н. Х. У истоков теории познания. По поводу аргументов Зенона против движения // . - 1911. - № XXXIV (август) отд. 2. - С. 207-221.
Больцано Б. Парадоксы безконечнаго . - Одесса, 1911.
Богомолов С. А. Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности // Журнал Министерства народного просвещения . - 1915, нов.сер.. - № LVI (апрель). - С. 289-328.
Дмитриев Г. Еще раз о парадоксе Зенона «Ахиллес и черепаха» и путанице В.Фридмана // Под знаменем марксизма . - 1928. - № 4.
Богомолов С. А. Актуальная бесконечность: Зенон Элейский, Исаак Ньютон и Георг Кантор. - Л.-М., 1934.
Яновская С. А. Апории Зенона //

Зенон Элейский (около 490–430 до н.э.)–любимый ученик и последователь Парменида". Он развивал логику как диалектику. Наиболее известные опровержения возможности движения–знаменитые апории Зенона, которого Аристотель назвал изобретателем диалектики. Апории чрезвычайно глубоки и вызывают интерес по сей день. Отстаивал неизменность бытия(едино и неподвижно), небытие мыслить нельзя, это область мнения. Отрицал возможность мыслить движение, анализировать, а то, что мыслить нельзя–не существует.

Внутренние противоречия понятия о движении ярко выявляются в знаменитой апории «Ахиллес»: быстроногий Ахиллес никогда не может догнать черепахи. Почему? Всякий раз, при всей скорости своего бега и при всей малости разделяющего их пространства, как только он ступит на место, которое перед тем занимала черепаха, она несколько продвинется вперед. Как бы ни уменьшалось пространство между ними, оно ведь бесконечно в своей делимости на промежутки и их надобно все пройти, а для этого необходимо бесконечное время. И Зенон, и мы прекрасно знаем, что не только Ахиллес быстроногий, но и любой хромоногий тут же догонит черепаху. Но для философа вопрос ставился не в плоскости эмпирического существования движения, а в плане мысли мости его противоречивости в системе понятий, в диалектике его соотношения с пространством и временем.

Апория «Дихотомия»: предмет, движущийся к цели, вначале должен пройти половину пути к ней, а чтобы пройти эту половину, он должен пройти ее половину и т.д., до бесконечности. Стало быть, тело не достигнет цели, т.к. путь его бесконечен.

Аристотель указывает, что Зенон бесконечно делимое смешивает с бесконечно большим. Зенон рассматривает пространство как сумму конечных отрезков и противопоставляет ему бесконечную непрерывность времени. В «Черепахе» невозможность движения истекает из того, что нельзя пройти в конечное время бесконечное число половинок пути. Зенону просто не было знакомо понятие суммы бесконечного ряда, иначе он увидел бы, что бесконечное число слагаемых дает все же конечный путь, который Ахиллес, двигаясь с постоянной скоростью, без сомнения, преодолеет за надлежащее(конечное) время.

Таким образом, элеатам не удалось доказать, что движения нет. Они своими тонкими рассуждениями показали то, что едва ли кто из их современников осмысливал,–что такое движение? Сами они в своих размышлениях поднялись на высокий уровень философских поисков тайны движения. Однако они не смогли разорвать путы исторической ограниченности развития философских воззрений. Нужны были какие-то особые ходы мысли. Эти ходы нащупывали основоположники атомизма.

Основное свойство окружающего мира –не вещество, а качество(неизменная вечность, можно мыслить)–таков вывод элеатов.

16. Философия атомизма: концепция атома и причинности.

№ 6 Учение Демокрита. Понятие атома и пустоты.

Атомизм - движение античной мысли к философской унификации первооснов бытия. Гипотеза развита Левкиппом и особенно Демокритом(460-370 до н.э.).

В основе бесконечного многообразия мира–единое архэ, имеет бесконечное число элементов(атомов). Потенциальная бесконечность –к куче песка всегда можно добавить еще одну песчинку. Актуальнаябесконечность –наличие бесконечного числа элементов в ограниченном объеме. С помощью обычного мышления объяснить его нельзя.

Бытие есть нечто предельно простое, далее неделимое, непроницаемое–атом. Атомов бесчисленное множество, они вечны, неизменны, не возникают и не уничтожаются. Атомы отделены друг от друга пустотой; атом–бытие, пустота–небытие. Атомы вечно носятся в беспредельной пустоте, не имеющей ни верха, ни низа, ни конца, ни края, сталкиваясь, сцепляясь и разъединяясь. Соединения атомов образуют все многообразие природы. Атомы обладают силой самодвижения: такова их извечная природа. Атомы складываются в различные конфигурации, которые мы воспринимаем в качестве отдельных вещей, различность же структур этих конфигураций, т.е. качественное разнообразие мира, зависит от разных типов взаимодействий между атомами

Человек–скопление атомов, отличается от других существ наличием души. Душа–вещество, состоящее из мелких, наиболее подвижных, огненных атомов.

Демокрит колебался в вопросе о природе богов, но был тверд в признании бытия Бога. По Демокриту, боги состоят из атомов, а Бог есть космический разум.

Атомизм составляет одно из величайших учений. В отличие от всех выдвигавшихся до сих пор идей первоначала, идея атома содержит в себе, кроме всего прочего, принцип предела делимости материи: атом мыслился как наименьшая частица, которая выступает как исходный в созидании и последний в разложении вещественный элемент сущего. А это–гениальный взлет мысли на принципиально новый уровень философского постижения сущего.

Основа познания- ощущения. От вещей отделяются “видики”- материальные формы вещей, они несутся во все стороны в пустом пространстве и проникают в органы чувств через поры. Если поры соответствуют по величине и форме проникающим в них «видикам», то в ощущениях возникает образ предмета, соответствующий самому предмету. Т.о. уже в ощущениях мы получаем верный образ предмета. Однако существуют предметы, которые в силу своей малой величины недоступны чувствам, такие свойства вещ постигаются умом, и это познание также м.б. достоверным.

Причинность. Развитие вселенной, порядок мира, все в сущности определено (детерминировано) механическим движением атомов. Поэтому в его системе нет места для объективного. существования "случайности". И сама "случайность" объясняется отсутствием каузального объяснения, незнанием причин определенного явления. У Демокрита, как говорит Диоген Лаэртский, "все возникает по необходимости: причина всякого возникновения - вихрь, и этот вихрь он называет необходимостью". Это понятие необходимости есть следствие определенной метафизической абсолютизации механически понимаемой причинности. (Именно этот момент был главным предметом критики одного из выдающихся представителей древней атомистики - Эпикура.) Демокритово понимание причинности как абсолютной необходимости не имеет, однако, как подчеркивал Аристотель, ничего общего с телеологией и направлено именно против телеологической интерпретации действительности. "Демокрит отходит от того, чтобы говорить о цели, и переводит все, что использует природа, к необходимости".

Похожая информация.

Обратимся теперь к конкретным софизмам и тем проблемам, которые стоят за ними.

Знаменитые рассуждения древнегреческого философа Зенона «Ахиллес и черепаха», «дихотомия» и др., называемые обычно «апориями» («затруднениями»), были направлены будто бы против движения и существования многих вещей. Сама идея доказать, что мир - это одна-единственная и к тому же неподвижная вещь, нам сегодня кажется странной. Да странной она считалась и древними. Настолько странной, что «доказательства», приводившиеся Зеноном, сразу же были отнесены к простым уловкам, причем лишенным в общем-то особой хитрости. Такими они и считались две с лишним тысячи лет, а иногда считаются и теперь. Посмотрите, читатель, как они формулируются, и обратите внимание на их внешнюю простоту и незамысловатость.

Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы, немного, но впереди.

В «дихотомии» обращается внимание на то, что движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т. д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Это рассуждение можно несколько переиначить. Чтобы пройти половнчу пути, предмет должен пройти половину этой половины, а для этого нужно пройти половину этой четверти и т. д. Предмет в итоге так и не сдвинется с места.

Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни философских и научных работ. В них десятками разных способов доказывается, что допущение возможности движения не ведет к абсурду, что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна описать движение без противоречия.

Обилие опровержений доводов Зенона показательно. Не вполне ясно, в чем именно состоят эти доводы, что они доказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообще доказательства? Чувствуется только, что какие-то проблемы или затруднения все-таки есть. И прежде чем опровергать Зенона, нужно выяснить, что именно он намеревался сказать и как он обосновывал свои тезисы. Сам он не формулировал прямо ни проблем, ни своих решений этих проблем. Есть, в частности, только коротенький рассказ, как Ахиллес безуспешно пытается догнать черепаху.

Извлекаемая из этого описания мораль зависит, естественно, от того более широкого фона, на котором оно рассматривается и меняется с изменением этого фона.

Рассуждения Зенона сейчас, надо думать, окончательно выведены из разряда хитроумных уловок. Они, по словам Б. Рассела, «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней».

Общность этих рассуждений е другими софизмами древних несомненна. И те и другие имеют форму краткого рассказа или описания простой в своей основе ситуации, за которой не стоит как будто никаких особых проблем. Однако описание преподносит обыденное явление так, что оно оказывается явно несовместимым с устоявшимися представлениями о нем. Между этими обычными представлениями о явлении и описанием его в апории или софизме возникает резкое расхождение, даже противоречие. Как только оно замечается, рассказ теряет видимость простой и безобидной констатации. За ним открывается неожиданная и неясная глубина, в которой смутно угадывается какой-то вопрос или даже многие вопросы. Трудно сказать с определенностью, в чем именно состоят эти вопросы, их еще предстоит уяснить и сформулировать, но очевидно, что они есть. Их надо извлечь из рассказа подобно тому, как извлекается мораль из житейской притчи. И как в случае притчи, результаты размышления над рассказом важным образом зависят не только от него самого, но и от того контекста, в котором этот рассказ рассматривается. В силу этого вопросы оказываются не столько поставленными, сколько навеянными рассказом. Они меняются от человека к человеку и от времени ко времени. И нет полной уверенности в том, что очередная пара «вопрос - ответ» исчерпала все содержание рассказа.

«МЕДИМН ЗЕРНА»

Зенон предложил еще один софизм - «медимн зерна» (примерно мешок зерна), послуживший прототипом для знаменитых софизмов Евбулида «куча» и «лысый».

Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом!

В прошлом веке начала складываться экспериментальная психология. «Медимн зерна» стал истолковываться - в духе времени - как первое неясное указание на существование только что открытых порогов восприятия. Это истолкование многим кажется убедительным и сегодня.

Человек слышит не все звуки, а только достигающие определенной силы. Падение отдельного зерна производит шум, но он настолько слаб, что лежит за пределами человеческого слуха. Падение же многих зерен дает шум, улавливаемый человеком. «Если бы Зенон был знаком с теорией звука, - писал тогда немецкий философ Т. Брентано, - он не измыслил бы, конечно, своего аргумента».

Как-то при таком объяснении совершенно не замечалось одно простое, но меняющее все дело обстоятельство: софизм «медимн зерна» строго аналогичен софизмам «куча» и «лысый». Но последние не имеют никакого отношения ни к теории звука, ни к психологии слуха.

Значит, для них нужны какие-то другие и притом разные объяснения.

Это кажется явно непоследовательным. Однотипные софизмы должны решаться одинаково. Кроме того, раз уловлен принцип построения подобных софизмов, их можно формулировать сколько заблагорассудится. Было бы наивно, однако, для каждого из них искать какое-то свое решение.

Гораздо более глубоким является их анализ, данный Г. Гегелем. Вопросы: «Создает ли прибавление одного зерна кучу?», «Становится ли хвост лошади голым, если вырвать из него один волос?» -кажутся наивными. Нов них находит свое выражение попытка древних греков представить наглядно противоречивость всякого изменения.

Постепенное, незаметное, чисто количественное изменение какого-то объекта не может продолжаться бесконечно. В определенный момент оно достигает своего предела, происходит резкое качественное изменение и объект переходит в другое качество. Например, при температуре от 0° до 100°С вода представляет собой жидкость. Постепенное нагревание ее заканчивается тем, что при 100°С она закипает и резко, скачком переходит в другое качественное состояние - превращается в пар. «Когда происходит количественное изменение, - пишет Г. Гегель, - оно кажется сначала совершенно невинным, но за этим изменением скрывается еще и нечто другое, и это кажущееся невинным изменение количественного представляет собой как бы хитрость, посредством которой уловляется качественное».

Софизмы типа «медимн зерна», «куча», «лысый» являются также наглядным примером тех трудностей, к которым ведет употребление неточных или «размытых» понятий. Но об этом уже говорилось в третьей главе.

Зенон Элейский - древнегреческий философ, который был учеником Парменида, представитель Элейской школы. Он родился около 490 года до н. э. в Южной Италии, в г. Элее.

Чем прославился Зенон?

Аргументы Зенона прославили этого философа как искусного полемиста в духе софистики. Содержание учения этого мыслителя считалось тождественным идеям Парменида. Элейская школа (Ксенофан, Парменид, Зенон) является предшественницей софистики. Зенон считался традиционно единственным "учеником" Парменида (хотя Эмпедокла также называли его "преемником"). В раннем диалоге под названием "Софист" Аристотель назвал "изобретателем диалектики" Зенона. Он использовал понятие "диалектика", скорее всего, в значении доказательства из некоторых общепринятых посылок. Именно ему посвящено собственное сочинение Аристотеля "Топика".

В "Федре" Платон говорит об отлично владеющем "искусством словопрения" "элейском Паламеде" (что означает "ловкий изобретатель"). Плутарх пишет о Зеноне, используя принятую для описания софистской практики терминологию. Он говорит о том, что этот философ умел опровергать, приводя к апории через контраргументы. Намеком на то, что занятия Зенона имели софистический характер, является упоминание в диалоге "Алкивиад I" о том, что этот философ брал за обучение высокую плату. Диоген Лаэртий говорит о том, что впервые диалоги начал писать Зенон Элейский. Этот мыслитель также считался учителем Перикла, известного политического деятеля Афин.

Занятия политикой Зенона

Можно найти у доксографов сообщения о том, что Зенон занимался политикой. Например, он принимал участие в заговоре против Неарха, тирана (существуют другие варианты его имени), был арестован и попытался на допросе откусить ухо у него. Эту историю излагает Диоген по Гераклиду Лембу, который, в свою очередь, ссылается на книгу перипатетика Сатира.

Многие историки античности передавали сообщения о стойкости на суде этого философа. Так, по сообщению Антисфена Родосского, Зенон Элейский откусил себе язык. Гермипп говорит, что философа бросили в ступу, в которой его истолкли. Этот эпизод впоследствии был очень популярен в литературе античности. Упоминают о нем Плутарх Херонейский, Диодир Сицилийский, Флавий Филострат, Климент Александрийский, Тертуллиан.

Сочинения Зенона

Зенон Элейский был автором сочинений "Против философов", "Споры", "Толкование Эмпедокла" и "О природе". Не исключено, однако, что все они, кроме "Толкования Эмпедокла", были на самом деле вариантами названия одной книги. В "Пармениде" Платон упоминает о сочинении, написанном Зеноном для того, чтобы высмеять оппонентов своего учителя и показать, что к еще более нелепым выводам приводит допущение движения и множества, чем признание единого бытия по Пармениду. Аргументация этого в изложении более поздних авторов. Это Аристотель (сочинение "Физика"), а также его комментаторы (например, Симпликий).

Аргументы Зенона

Основное произведение Зенона было составлено, судя по всему, из набора ряда аргументов. К доказательству от противного сводилась их Этот философ, защищая постулат о неподвижном едином бытии, который выдвинула Элейская школа (апории Зенона, как считает ряд исследователей, были созданы для того, чтобы поддержать учение Парменида), стремился показать, что допущение противоположного тезиса (о движении и множестве) непременно приводит к абсурду, следовательно, должно быть мыслителями отвергнуто.

Зенон, очевидно, следовал в случае если одно утверждение из двух противоположных неверно, является верным другое. Сегодня известно о следующих двух группах аргументов этого философа (апории Зенона Элейского): против движения и против множества. Также имеются свидетельства, говорящие о наличии аргументов против чувственного восприятия и против места.

Аргументы Зенона против множества

У Симпликия сохранились эти аргументы. Он цитирует Зенона в комментарии к аристотелевской "Физике". Прокл говорит о том, что сочинение интересующего нас мыслителя заключало в себе 40 подобных аргументов. Пять из них мы перечислим.

Защищая своего учителя, которым являлся Парменид, Зенон Элейский говорит о том, что если существует множество, то, следовательно, вещи должны быть необходимо и велики и малы: так малы, что не имеют вообще величины, и настолько велики, что являются бесконечными.
Доказательство следующее . Некую величину должно иметь существующее. Будучи прибавлено к чему-то, оно увеличит его и уменьшит, будучи отнято. Но для того, чтобы отличаться от некоторого другого, следует отстоять от него, находиться на определенном расстоянии. То есть всегда между двумя сущими будет дано третье, благодаря которому они являются различными. Оно также должно отличаться от другого и т. д. В целом сущее будет бесконечно велико, поскольку представляет собой сумму вещей, которых бесконечное множество. (Парменид, Зенон и др.) основывается на этой мысли.
Если существует множество, то вещи будут и безграничны, и ограничены.
Доказательство : если имеется множество, вещей есть столько, сколько их есть, не меньше и не больше, то есть число их ограничено. Однако в этом случае всегда будут между вещами существовать другие, между которыми, в свою очередь, - третьи и т. д. То есть число их будет бесконечно. Поскольку одновременно доказано противоположное, исходный постулат неверен. То есть множества не существует. Это одна из основных идей, которую развивает Парменид (Элейская школа). Зенон ее поддерживает.
Если имеется множество, то вещи одновременно должны быть неподобными и подобными, что невозможно. Согласно Платону данным аргументом начиналась книга интересующего нас философа. предполагает, что одна и та же вещь рассматривается как подобная самой себе и отличная от других. У Платона она понимается как паралогизм, так как неподобие и подобие берутся в разных отношениях.
Отметим интересный аргумент против места. Зенон говорил о том, что если существует место, то оно должно быть в чем-то, поскольку это относится ко всему сущему. Отсюда следует, что место тоже будет в месте. И так до бесконечности. Вывод: места нет. Этот аргумент Аристотель и комментаторы его относили к числу паралогизмов. Неправильно, что "быть" - значит "быть в месте", так как в каком-то месте не существуют бестелесные понятия.
Против чувственного восприятия аргумент называется "Просяное зерно". Если одно зерно или же его тысячная часть при падении не производят шума, как это может делать медимна его при падении? Если медимна зерна производит шум, следовательно, это должно относиться и к одной тысячной, чего нет на самом деле. Данный аргумент затрагивает проблему порога восприятия наших хотя сформулирован он в терминах целого и части. Паралогизм в этой формулировке заключается в том, что речь идет о "шуме, производимом частью", которого нет в действительности (по замечанию Аристотеля, он существует в возможности).

Аргументы против движения

Самую большую известность получили четыре апории Зенона Элейского против времени и движения, известные по аристотелевской "Физике", а также комментариям к ней Иоанна Филопона и Симпликия. Первые две из них основываются на том, что в виде бесконечного количества неделимых "мест" (частей) может быть представлен отрезок любой длины. Он не может быть в конечное время пройден. Третья и четвертая апория основываются на том, что из неделимых частей состоит и время.

"Дихотомия"

Рассмотрим аргумент "Стадий" ("Дихотомия" - другое название). Прежде чем преодолеть некоторое расстояние, движущееся тело сначала должно пройти половину отрезка, а до того как достичь половины, ему нужно пройти половину половины, и так до бесконечности, поскольку любой отрезок можно делить пополам, как бы он ни был мал.

Другими словами, поскольку всегда движение осуществляется в пространстве, а континуум его рассматривается как бесконечное множество различных отрезков, актуально данное, поскольку делимой до бесконечности является любая непрерывная величина. Следовательно, движущемуся телу придется за конечное время пройти число отрезков, которое бесконечно. Это делает невозможным движение.

"Ахилл"

Если есть движение, наиболее быстрый бегун никогда не сможет догнать самого медленного, поскольку необходимо, чтобы прежде догоняющий достиг места, откуда убегающий начал двигаться. Поэтому по необходимости бегущий более медленно должен быть всегда немного впереди.

Действительно, двигаться - означает переходить из одной точки в другую. Из точки А быстрый Ахилл начинает догонять черепаху, которая в данный момент находится в пункте В. Сначала ему нужно пройти половину пути, то есть расстояние ААЬ. Когда Ахилл окажется в точке АЬ, за то время, пока он совершал движение, черепаха пройдет несколько дальше на отрезок ВВЬ. Тогда находящемуся в середине своего пути бегуну нужно будет достичь пункта ВЬ. Для этого необходимо, в свою очередь, пройти половину расстояния А1ВЬ. Когда же атлет окажется к этой цели на полпути (А2), немного дальше отползет черепаха. И так далее. Зенон Элейский в обеих апориях предполагает, что континуум делится до бесконечности, мысля как актуально существующую эту бесконечность.

"Стрела"

На самом деле летящая стрела покоится, полагал Зенон Элейский. Философия этого ученого всегда имела обоснование, и эта апория не исключение. Доказательство ее следующее: стрела в каждый момент времени занимает некоторое место, которое равно своему объему (так как стрела в противном случае была бы "нигде"). Однако занимать место, равное себе, - значит, находиться в покое. Отсюда можно сделать вывод о том, что можно мыслить движение только как сумму различных состояний покоя. Это невозможно, так как не бывает из ничего ничего.

"Движущиеся тела"

Если есть движение, можно заметить следующее. Одна из двух величин, которые равны и движутся с одинаковой скоростью, пройдет за равное время вдвое большее расстояние, а не равное другой.

Эту апорию традиционно проясняли при помощи чертежа. Навстречу друг другу движутся два равных предмета, которые обозначаются буквенными символами. Они идут по параллельным путям и проходят при этом мимо третьего предмета, являющегося равным им по величине. Двигаясь при этом с одинаковой скоростью, один раз мимо покоящегося, а другой - мимо движущегося предмета, будет пройдено одно и то же расстояние одновременно и за промежуток времени, и за половину его. Неделимый момент при этом окажется вдвое больше себя самого. Это логически неверно. Он должен быть либо делимым, либо должна быть делимой неделимая часть некоторого пространства. Так как Зенон ни того ни другого не допускает, он заключает поэтому, что движение нельзя мыслить без возникновения противоречия. То есть его не существует.

Вывод из всех апорий

Вывод, который был сделан из всех апорий, сформулированных в поддержку идей Парменида Зеноном, заключается в том, что убеждающие нас в существовании движения и множества свидетельства чувств расходятся с доводами рассудка, которые противоречий в себе не содержат, а следовательно, являются истинными. Ложными в данном случае должны считаться рассуждения и чувства, основанные на них.

Против кого были направлены апории?

Единственного ответа вопрос, против кого апории Зенона были направлены, не имеет. Высказывалась в литературе точка зрения, по которой аргументы этого философа направлены были против сторонников "математического атомизма" Пифагора, которые физические тела конструировали из геометрических точек и считали, что время имеет атомарную структуру. Этот взгляд в настоящее время сторонников не имеет.

Считалось в античной традиции достаточным объяснением предположение, восходящее к Платону, о том, что Зенон защищал идеи своего учителя. Оппонентами его поэтому были все, кто не разделял учение, которое выдвинула Элейская школа (Парменид, Зенон), и придерживался основанного на свидетельствах чувств здравого смысла.

Итак, мы рассказали о том, кто такой Зенон Элейский. Кратко были рассмотрены его апории. И сегодня дискуссии о структуре движения, времени и пространства далеки до завершения, поэтому эти интересные вопросы остаются открытыми.