비디오 코스 "Get an A"에는 60-65점으로 수학 통합 상태 시험에 성공적으로 합격하는 데 필요한 모든 주제가 포함되어 있습니다. 수학 프로필 통합 상태 시험의 모든 작업 1-13을 완료했습니다. 수학 기본 통합 상태 시험에 합격하는 데에도 적합합니다. 90~100점으로 통합 상태 시험에 합격하려면 파트 1을 30분 안에 실수 없이 풀어야 합니다!
10~11학년과 교사를 위한 통합 국가 시험 준비 과정입니다. 수학 통합 상태 시험 파트 1(처음 12개 문제)과 문제 13(삼각법)을 해결하는 데 필요한 모든 것입니다. 그리고 이것은 통합 상태 시험에서 70점이 넘으며, 100점 학생도 인문학 학생도 그것 없이는 할 수 없습니다.
필요한 모든 이론. 통합 상태 시험의 빠른 솔루션, 함정 및 비밀. FIPI Task Bank 파트 1의 모든 현재 작업이 분석되었습니다. 이 과정은 Unified State Exam 2018의 요구 사항을 완전히 준수합니다.
이 과정에는 5개의 큰 주제가 포함되어 있으며 각 주제는 2.5시간입니다. 각 주제는 처음부터 간단하고 명확하게 제공됩니다.
수백 개의 통합 상태 시험 과제. 단어 문제와 확률 이론. 문제 해결을 위한 간단하고 기억하기 쉬운 알고리즘입니다. 기하학. 모든 유형의 통합 상태 시험 작업에 대한 이론, 참고 자료, 분석. 입체 측정. 까다로운 솔루션, 유용한 치트 시트, 공간적 상상력 개발. 처음부터 삼각법 문제 13. 벼락치기 대신 이해하기. 복잡한 개념에 대한 명확한 설명. 대수학. 근, 거듭제곱, 로그, 함수 및 도함수. 통합 국가 시험 파트 2의 복잡한 문제를 해결하기 위한 기초입니다.
비디오 코스 "Get an A"에는 60-65점으로 수학 통합 상태 시험에 성공적으로 합격하는 데 필요한 모든 주제가 포함되어 있습니다. 수학 프로필 통합 상태 시험의 모든 작업 1-13을 완료했습니다. 수학 기본 통합 상태 시험에 합격하는 데에도 적합합니다. 90~100점으로 통합 상태 시험에 합격하려면 파트 1을 30분 안에 실수 없이 풀어야 합니다!
10~11학년과 교사를 위한 통합 국가 시험 준비 과정입니다. 수학 통합 상태 시험 파트 1(처음 12개 문제)과 문제 13(삼각법)을 해결하는 데 필요한 모든 것입니다. 그리고 이것은 통합 상태 시험에서 70점이 넘으며, 100점 학생도 인문학 학생도 그것 없이는 할 수 없습니다.
필요한 모든 이론. 통합 상태 시험의 빠른 솔루션, 함정 및 비밀. FIPI Task Bank 파트 1의 모든 현재 작업이 분석되었습니다. 이 과정은 Unified State Exam 2018의 요구 사항을 완전히 준수합니다.
이 과정에는 5개의 큰 주제가 포함되어 있으며 각 주제는 2.5시간입니다. 각 주제는 처음부터 간단하고 명확하게 제공됩니다.
수백 개의 통합 상태 시험 과제. 단어 문제와 확률 이론. 문제 해결을 위한 간단하고 기억하기 쉬운 알고리즘입니다. 기하학. 모든 유형의 통합 상태 시험 작업에 대한 이론, 참고 자료, 분석. 입체 측정. 까다로운 솔루션, 유용한 치트 시트, 공간적 상상력 개발. 처음부터 삼각법 문제 13. 벼락치기 대신 이해하기. 복잡한 개념에 대한 명확한 설명. 대수학. 근, 거듭제곱, 로그, 함수 및 도함수. 통합 국가 시험 파트 2의 복잡한 문제를 해결하기 위한 기초입니다.
기하학 문제를 해결하려면 삼각형의 면적이나 평행사변형의 면적과 같은 공식을 알아야 합니다. 간단한 기술, 우리가 이야기 할 것입니다.
먼저 도형의 넓이에 대한 공식을 배워봅시다. 우리는 그것들을 편리한 테이블에 특별히 모았습니다. 인쇄하고, 배우고, 적용해보세요!
물론 모든 기하학 공식이 우리 표에 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 수학 통합 상태 시험 프로필의 두 번째 부분에서 기하학 및 입체 측정 문제를 해결하기 위해 삼각형 영역에 대한 다른 공식이 사용됩니다. 우리는 그들에 대해 확실히 말할 것입니다.
하지만 사다리꼴이나 삼각형의 면적이 아니라 복잡한 도형의 면적을 찾아야 한다면 어떻게 될까요? 보편적인 방법이 있습니다! FIPI 작업 은행의 예를 사용하여 보여드리겠습니다.
1. 비표준 도형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 임의의 사각형? 간단한 기술 - 이 수치를 우리가 모든 것을 알고 있는 수치로 나누고 그 면적을 이 수치의 면적의 합으로 구해 보겠습니다.
수평선이 있는 이 사변형을 공통 밑변이 와 같은 두 개의 삼각형으로 나눕니다. 이 삼각형의 높이는 동일하다 그리고 . 그러면 사변형의 면적은 두 삼각형의 면적의 합과 같습니다.
답변: .
2. 어떤 경우에는 그림의 면적이 일부 면적의 차이로 표현될 수 있습니다.
이 삼각형의 밑변과 높이가 얼마인지 계산하는 것은 그리 쉽지 않습니다! 그러나 그 면적은 한 변이 있는 정사각형 면적과 세 변이 있는 정사각형 면적의 차이와 같다고 말할 수 있습니다. 직각삼각형. 사진에서 그것들이 보이시나요? 우리는 다음을 얻습니다: .
답변: .
3. 때로는 작업에서 전체 그림이 아닌 그림의 일부 영역을 찾아야 하는 경우가 있습니다. 일반적으로 우리는 원의 일부인 섹터 영역에 대해 이야기하고 있습니다. 호 길이가 다음과 같은 반경 원의 섹터 영역을 찾습니다. .
이 그림에서 우리는 원의 일부를 볼 수 있습니다. 전체 원의 면적은 와 같습니다. 원의 어느 부분이 묘사되어 있는지 알아내는 것이 남아 있습니다. 전체 원의 길이가 같기 때문에 (부터 ), 주어진 섹터의 호 길이는 같습니다. 따라서 호의 길이는 전체 원의 길이보다 몇 배 더 짧습니다. 이 호가 놓여 있는 각도도 완전한 원(즉, 각도)보다 작은 요소입니다. 이는 해당 섹터의 면적이 전체 원의 면적보다 몇 배 더 작다는 것을 의미합니다.
일반 개요. 입체 공식!
안녕하세요, 친애하는 친구! 이 기사에서 나는 입체 측정의 문제에 대한 일반적인 개요를 작성하기로 결정했습니다. 수학 통합 국가 시험 e. 이 그룹의 작업은 매우 다양하지만 어렵지는 않습니다. 길이, 각도, 면적, 부피 등 기하학적 수량을 찾는 문제입니다.
고려 대상: 입방체, 직육면체, 프리즘, 피라미드, 복합 다면체, 원통, 원뿔, 공. 슬픈 사실은 일부 졸업생은 시험 중에 그러한 문제를 해결하지도 않는다는 것입니다. 그러나 그 중 50% 이상이 간단하게 거의 구두로 해결됩니다.
나머지는 노력, 지식 및 특별한 기술이 거의 필요하지 않습니다. 향후 기사에서는 이러한 작업을 고려하고, 놓치지 말고, 블로그 업데이트를 구독할 것입니다.
해결하려면 알아야 할 것 표면적과 부피에 대한 공식평행육면체, 피라미드, 프리즘, 원통, 원뿔 및 구. 어려운 문제는 없으며 모두 2~3단계로 해결됩니다. 어떤 공식을 적용해야 하는지 "확인"하는 것이 중요합니다.
필요한 모든 공식은 다음과 같습니다.
공 또는 구. 구형 또는 구형 표면(때때로 단순히 구)은 공의 중심인 한 점에서 등거리에 있는 공간의 점들의 기하학적 궤적입니다.
공의 양밑면의 면적이 공의 표면과 같고 높이가 공의 반경인 피라미드의 부피와 같습니다.
구의 부피는 그 주위에 외접하는 원통의 부피보다 1.5배 작습니다.
원형 원뿔은 다리 중 하나를 중심으로 직각 삼각형을 회전시켜 얻을 수 있으므로 원형 원뿔을 회전 원뿔이라고도 합니다. 원형 원뿔의 표면적도 참조하십시오.
둥근 원뿔의 부피기본 면적 S와 높이 H의 곱의 1/3과 같습니다.
(H는 큐브 모서리의 높이)
평행육면체는 밑면이 평행사변형인 프리즘입니다. 평행육면체에는 6개의 면이 있으며 모두 평행사변형입니다. 네 개의 측면이 직사각형인 평행육면체를 직선 평행육면체라고 합니다. 6개의 면이 모두 직사각형인 직육면체를 직사각형이라고 합니다.
직육면체의 부피밑면 면적과 높이의 곱과 같습니다.
(S는 피라미드 밑면의 면적, h는 피라미드의 높이)
피라미드는 한 면(피라미드의 밑면)이 임의의 다각형이고 나머지 측면(피라미드의 상단이라고 불리는 공통 꼭지점이 있는 삼각형)을 갖는 다면체입니다.
피라미드의 밑면과 평행한 단면이 피라미드를 두 부분으로 나눕니다. 밑면과 이 부분 사이의 피라미드 부분은 잘린 피라미드입니다.
잘린 피라미드의 부피키의 곱의 1/3과 같습니다. 시간(OS)상부베이스 면적의 합으로 S1(abcde), 잘린 피라미드의 아래쪽 밑면 시즌 2(ABCDE)그리고 그들 사이의 평균 비례.
| 1. | 다섯= |
n - 정다각형의 변 수 - 밑변 일반 피라미드
a - 정다각형의 측면 - 정다각형의 밑면
h - 일반 피라미드의 높이
정삼각뿔은 한 면(피라미드의 밑면)이 정삼각형이고 나머지 면(측면)이 공통 꼭지점을 갖는 동일한 삼각형인 다면체입니다. 높이는 위에서 베이스 중앙으로 내려갑니다.
정삼각형 피라미드의 부피밑변이 되는 정삼각형 면적의 곱의 1/3과 같습니다. 에스(ABC)높이까지 시간(OS)
a - 정삼각형의 변 - 정삼각형 피라미드의 밑면
h - 정삼각형 피라미드의 높이
사면체의 부피에 대한 공식 유도
사면체의 부피는 피라미드 부피에 대한 고전적인 공식을 사용하여 계산됩니다. 사면체의 높이와 정삼각형의 면적을 대체해야합니다.
사면체의 부피-분모의 2의 제곱근이 12인 분자의 분수에 사면체 가장자리 길이의 세제곱을 곱한 것과 같습니다.
(h는 마름모의 변의 길이)
둘레 피전체 길이는 대략 3이고 원 지름 길이의 1/7입니다. 원주와 지름의 정확한 비율은 다음과 같이 표시됩니다. 그리스 문자 π
결과적으로 원 또는 원주의 둘레는 공식을 사용하여 계산됩니다.
| π r n |
(r은 호의 반경, n은 호의 중심각(도)입니다.)
그리고 고대 이집트인들은 우리의 방법과 비슷하게 다양한 도형의 면적을 계산하는 방법을 사용했습니다.
내 책에는 "시작"유명한 고대 그리스 수학자 유클리드는 많은 면적을 계산하는 상당히 많은 방법을 설명했습니다. 기하학적 모양. 기하학적 정보가 포함된 Rus의 최초 사본은 16세기에 작성되었습니다. 다양한 모양의 도형의 영역을 찾는 규칙을 설명합니다.
오늘은 도움을 받아 현대적인 방법어떤 그림의 면적도 매우 정확하게 찾을 수 있습니다.
가장 간단한 그림 중 하나인 직사각형과 해당 영역을 찾는 공식을 고려해 보겠습니다.
직사각형 면적 공식
한 변의 길이가 $1$cm인 $8$ 정사각형으로 구성된 그림(그림 1)을 생각해 보겠습니다. 한 변의 길이가 $1$cm인 정사각형 한 개의 면적을 제곱센티미터라고 하며 $1\cm^2라고 씁니다. $.
이 그림(그림 1)의 면적은 $8\cm^2$와 같습니다.
한 변이 $1\ cm$인 여러 정사각형으로 나눌 수 있는 도형의 면적(예: $p$)은 $p\ cm^2$와 같습니다.
즉, 그림의 면적은 $cm^2$의 수와 같으며, 이 그림을 한 변이 $1\cm$인 정사각형의 수로 나눌 수 있습니다.
$3$ 줄무늬로 구성된 직사각형(그림 2)을 생각해 봅시다. 각 줄무늬는 한 변이 $1\cm$인 $5$ 정사각형으로 나뉩니다. 전체 직사각형은 $5\cdot 3=15$ 이러한 정사각형으로 구성되며 면적은 $15\cm^2$입니다.
그림 1.
그림 2.
그림의 면적은 일반적으로 문자 $S$로 표시됩니다.
직사각형의 면적을 구하려면 길이에 너비를 곱해야 합니다.
길이를 문자 $a$로, 너비를 문자 $b$로 표시하면 직사각형 면적에 대한 공식은 다음과 같습니다.
정의 1
수치가 호출됩니다. 동일한서로 겹쳐졌을 때 숫자가 일치하는 경우. 동일한 도형은 면적과 둘레가 동일합니다.
그림의 면적은 해당 부분의 면적의 합으로 구할 수 있습니다.
실시예 1
예를 들어, 그림 $3$에서 직사각형 $ABCD$는 $KLMN$ 선으로 두 부분으로 나뉩니다. 한 부분의 면적은 $12\ cm^2$이고, 다른 부분은 $9\ cm^2$입니다. 그러면 직사각형 $ABCD$의 면적은 $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$와 같습니다. 다음 공식을 사용하여 직사각형의 면적을 찾으십시오.
보시다시피 두 방법으로 찾은 면적은 동일합니다.
그림 3.
그림 4.
선분 $AC$는 직사각형을 $ABC$와 $ADC$라는 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 이는 각 삼각형의 면적이 전체 직사각형 면적의 절반과 같다는 것을 의미합니다.
정의 2
변의 길이가 같은 직사각형을 직사각형이라고 합니다 정사각형.
정사각형의 변을 문자 $a$로 표시하면 정사각형의 면적은 다음 공식으로 구됩니다.
따라서 숫자 $a$의 이름 제곱이 됩니다.
실시예 2
예를 들어 정사각형의 한 변이 $5$ cm이면 면적은 다음과 같습니다.
볼륨
무역과 건설이 발전하면서 고대 문명 시대에도 물량을 찾아야 할 필요성이 생겼습니다. 수학에는 입체측정법(stereometry)이라고 불리는 공간적 수치에 대한 연구를 다루는 기하학의 한 분야가 있습니다. 이 별도의 수학 분야에 대한 언급은 기원전 $IV$ 세기에 이미 발견되었습니다.
고대 수학자들은 정육면체와 평행육면체 등 단순한 도형의 부피를 계산하는 방법을 개발했습니다. 당시의 건물은 모두 이런 형태였습니다. 그러나 나중에 더 복잡한 모양의 도형의 부피를 계산하는 방법이 발견되었습니다.
직육면체의 부피
틀에 젖은 모래를 채우고 뒤집어 놓으면 입체적인 그림, 이는 볼륨이 특징입니다. 같은 틀을 사용해 여러 개의 피규어를 만들면 같은 부피의 피규어를 얻을 수 있습니다. 틀에 물을 채우면 물의 양과 모래 인형의 양도 같아집니다.
그림 5.
한 용기에 물을 채우고 두 번째 용기에 부어 두 용기의 부피를 비교할 수 있습니다. 두 번째 용기가 완전히 채워지면 용기의 부피가 동일한 것입니다. 첫 번째 용기에 물이 남아 있으면 첫 번째 용기의 부피가 두 번째 용기의 부피보다 큽니다. 첫 번째 용기에서 물을 부을 때 두 번째 용기를 완전히 채울 수 없는 경우 첫 번째 용기의 부피는 두 번째 용기의 부피보다 적습니다.
볼륨은 다음 단위를 사용하여 측정됩니다.
$mm^3$ -- 입방 밀리미터,
$cm^3$ -- 입방 센티미터,
$dm^3$ -- 입방 데시미터,
$m^3$ -- 입방미터,
$km^3$ -- 입방 킬로미터.
