0으로 나누기수학에서 제수가 0인 나눗셈. 이러한 나눗셈은 공식적으로 ⁄ 0으로 작성될 수 있으며, 여기서 배당은 입니다.
일반 산술(실수 포함)에서는 다음과 같은 이유로 이 표현이 의미가 없습니다.
- ≠ 0의 경우 0을 곱하면 나오는 숫자가 없으므로 몫 ⁄ 0으로 사용할 수 있는 숫자는 없습니다.
- = 0에서는 0으로 나누는 것도 정의되지 않습니다. 0을 곱하면 0이 되고 몫 0 ⁄ 0으로 간주될 수 있기 때문입니다.
역사적으로 ⁄ 0 값을 할당하는 수학적 불가능성에 대한 최초의 언급 중 하나는 George Berkeley의 무한소 미적분학 비판에 포함되어 있습니다.
논리적 오류
숫자에 0을 곱하면 결과는 항상 0이 되므로, 표현식 × 0 = × 0의 두 부분을 모두 나누면 값에 관계없이 true이고, 0으로 표현식 =을 얻게 됩니다. 임의로 지정된 변수의 경우 올바르지 않습니다. 0은 명시적으로 지정되지 않고 다소 복잡한 수학적 표현의 형태(예: 대수 변환을 통해 서로 감소된 두 값의 차이 형태)로 지정될 수 있으므로 이러한 나누기는 다소 눈에 띄지 않는 오류가 될 수 있습니다. 명백히 다른 양의 동일성을 보여줌으로써 터무니없는 진술을 증명하기 위해 증명 과정에 그러한 구분을 눈에 띄지 않게 도입하는 것은 수학적 궤변의 다양성 중 하나입니다.
컴퓨터 과학에서는
프로그래밍에서는 프로그래밍 언어, 데이터 유형 및 피제수 값에 따라 0으로 나누려고 시도하는 결과가 달라질 수 있습니다. 정수와 실수 산술에서 0으로 나누는 결과는 근본적으로 다릅니다.
- 시도 정수 0으로 나누는 것은 항상 프로그램의 추가 실행을 불가능하게 만드는 심각한 오류입니다. 이는 예외를 발생시키거나(프로그램이 스스로 처리하여 충돌을 피할 수 있음) 프로그램을 즉시 중지시켜 수정할 수 없는 오류 메시지와 호출 스택의 내용을 표시합니다. Go와 같은 일부 프로그래밍 언어에서는 0 상수로 정수 나누기를 구문 오류로 간주하여 프로그램이 비정상적으로 컴파일되도록 합니다.
- 안에 진짜산술 결과는 언어마다 다를 수 있습니다.
- 정수 나누기와 마찬가지로 예외가 발생하거나 프로그램이 중지됩니다.
- 연산의 결과로 숫자가 아닌 특별한 값을 얻습니다. 이 경우 계산은 중단되지 않으며 결과는 프로그램 자체 또는 사용자에 의해 의미 있는 값 또는 잘못된 계산의 증거로 해석될 수 있습니다. 널리 사용되는 원리는 ⁄ 0처럼 나눌 때(여기서 ≠ 0은 부동 소수점 수) 결과는 양수 또는 음수(피제수의 부호에 따라 다름) 무한대와 같습니다. 또는 = 0일 때 결과는 다음과 같습니다. 특수 값 NaN(영어 "숫자가 아님"의 약어). 이 접근 방식은 많은 기업에서 지원하는 IEEE 754 표준에서 채택되었습니다. 현대 언어프로그램 작성.
컴퓨터 프로그램에서 실수로 0으로 나누면 프로그램이 제어하는 하드웨어에 비용이 많이 들거나 위험한 오작동이 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 1997년 9월 21일 미 해군 순양함 USS 요크타운(CG-48)의 컴퓨터 제어 시스템에서 0으로 나누는 결과 시스템의 모든 전자 장비가 꺼지면서 선박의 추진 시스템이 작동하지 않게 되었습니다. 운영을 중지합니다.
또한보십시오
메모
함수 = 1 ⁄ . 오른쪽에서 0이 되는 경향이 있으면 무한대가 되는 경향이 있습니다. 왼쪽에서 0이 되는 경향이 있을 때 마이너스 무한대가 되는 경향이 있습니다.
일반 계산기에서 숫자를 0으로 나누면 문자 E 또는 오류라는 단어, 즉 "오류"가 표시됩니다.
비슷한 경우 컴퓨터 계산기에는 (Windows XP의 경우) "0으로 나누는 것이 금지되어 있습니다."라고 기록됩니다.
모든 것은 0으로 나눌 수 없다는 학교의 규칙과 일치합니다.
이유를 알아봅시다.
나눗셈은 곱셈에 반대되는 수학적 연산입니다. 나눗셈은 곱셈을 통해 결정됩니다.
숫자 나누기 에이(예: 8로 나눌 수 있음) 숫자로 비(제수, 예를 들어 숫자 2) - 해당 숫자를 찾는 것을 의미합니다. 엑스(몫), 제수를 곱한 경우 비배당금이 나오네요 에이(4 2 = 8), 즉 에이나누기 비방정식 x · b = a를 푸는 것을 의미합니다.
방정식 a: b = x는 방정식 x · b = a와 동일합니다.
나눗셈을 곱셈으로 대체합니다. 8: 2 = x 대신 x · 2 = 8이라고 씁니다.
8: 2 = 4는 4 2 = 8과 동일합니다.
18: 3 = 6은 6 3 = 18과 같습니다.
20: 2 = 10은 10 2 = 20과 같습니다.
나눗셈의 결과는 항상 곱셈으로 확인할 수 있습니다. 제수에 몫을 곱한 결과가 피제수가 되어야 합니다.
같은 방법으로 0으로 나누어 보겠습니다.
예를 들어, 6: 0 = ... 0을 곱하면 6이 되는 숫자를 찾아야 합니다. 하지만 0을 곱하면 항상 0이 된다는 것을 알고 있습니다. 0을 곱하면 0이 아닌 다른 숫자가 나오는 숫자는 없습니다.
0으로 나누는 것이 불가능하거나 금지된다는 것은 그러한 나누기의 결과에 해당하는 숫자가 없다는 것을 의미합니다 (0으로 나누는 것은 가능하지만 나누는 것은 아닙니다 :)).
왜 학교에서는 0으로 나눌 수 없다고 말하나요?
그러므로 정의 a를 b로 나누는 연산은 즉시 b ≠ 0임을 강조합니다.
위에 적힌 모든 내용이 너무 복잡해 보인다면 시도해 보세요. 8을 2로 나눈다는 것은 8을 얻기 위해 몇 개의 2가 필요한지 알아내는 것을 의미합니다(답: 4). 18을 3으로 나누는 것은 18을 얻기 위해 몇 개의 3이 필요한지 알아내는 것을 의미합니다(답: 6).
6을 0으로 나눈다는 것은 6을 얻기 위해 몇 개의 0을 취해야 하는지 알아내는 것을 의미합니다. 얼마나 많은 0을 취하더라도 여전히 0을 얻지만 결코 6을 얻지 못할 것입니다. 즉, 0으로 나누는 것은 정의되지 않습니다.
Android 계산기에서 숫자를 0으로 나누려고 하면 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다. 화면에 (무한대)(또는 음수로 나누는 경우 - )가 표시됩니다. 숫자 는 존재하지 않기 때문에 이 결과는 올바르지 않습니다. 분명히 프로그래머들은 숫자를 나누고 x → 0인 숫자 시퀀스 n/x의 극한을 찾는 등 완전히 다른 작업을 혼동했습니다. 0을 0으로 나누면 NaN(숫자가 아님)이 기록됩니다.
“0으로 나눌 수는 없어요!” - 대부분의 학생들은 질문하지 않고 이 규칙을 암기합니다. 모든 아이들은 "당신은 할 수 없습니다"가 무엇인지 알고 있으며 "왜? "라고 대답하면 어떤 일이 일어날 지 알고 있습니다. 그러나 실제로 그것이 왜 가능하지 않은지 아는 것은 매우 흥미롭고 중요합니다.
문제는 산술의 네 가지 연산인 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 실제로 동일하지 않다는 것입니다. 수학자들은 그 중 덧셈과 곱셈, 두 가지만 유효한 것으로 인식합니다. 이러한 연산과 그 속성은 숫자 개념의 정의 자체에 포함됩니다. 다른 모든 작업은 이 두 가지 방식 중 하나로 구축됩니다.
예를 들어 뺄셈을 생각해 보세요. 그것은 무엇을 의미합니까? 5 - 3 ? 학생은 이에 대해 간단하게 대답할 것입니다. 5개의 물건을 가져와서 그 중 3개를 제거(제거)하고 얼마나 남아 있는지 확인해야 합니다. 그러나 수학자들은 이 문제를 완전히 다르게 본다. 뺄셈은 없고 덧셈만 있을 뿐입니다. 따라서 항목 5 - 3 숫자에 더해질 때 나타나는 숫자를 의미합니다. 3 번호를 줄 것이다 5 . 즉 5 - 3 단순히 방정식의 약식 버전입니다. 엑스 + 3 = 5. 이 방정식에는 뺄셈이 없습니다.
0으로 나누기
적절한 숫자를 찾는 작업 만 있습니다.
곱셈과 나눗셈도 마찬가지다. 기록 8: 4 8개의 물체를 4개의 동일한 더미로 나눈 결과로 이해될 수 있습니다. 그러나 실제로 이것은 방정식의 단축된 형태일 뿐입니다. 4×=8.
여기서 0으로 나누는 것이 불가능한(또는 오히려 불가능한) 이유가 분명해집니다. 기록 5: 0 의 약어이다 0x=5. 즉, 이 작업은 다음과 같은 숫자를 곱하는 것입니다. 0 줄 것이다 5 . 하지만 우리는 이것을 곱하면 0 그것은 항상 잘 된다 0 . 이는 엄밀히 말하면 정의의 일부인 0의 고유 속성입니다.
그런 숫자를 곱하면 0 0이 아닌 다른 것을 줄 것입니다. 단순히 존재하지 않습니다. 즉, 우리의 문제에는 해결책이 없습니다. (예, 이런 일이 발생합니다. 모든 문제에 해결책이 있는 것은 아닙니다.) 이는 기록을 의미합니다. 5: 0 특정 숫자에 해당하지 않으며 단순히 아무 의미도 없으므로 의미가 없습니다. 이 항목의 무의미함은 0으로 나눌 수 없다는 말로 간단히 표현됩니다.
이 곳에서 가장 세심한 독자들은 확실히 질문할 것입니다. 0을 0으로 나눌 수 있습니까?
실제로, 방정식 0x=0성공적으로 해결되었습니다. 예를 들어, 다음을 수행할 수 있습니다. 엑스 = 0, 그러면 우리는 0 0 = 0. 그것은 밝혀졌다 0: 0=0 ? 하지만 서두르지 말자. 받아보도록 하자 엑스 = 1. 우리는 얻는다 0 1 = 0. 오른쪽? 수단, 0: 0 = 1 ? 하지만 원하는 번호를 선택하여 얻을 수 있습니다. 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 등.
그러나 어떤 숫자라도 적합하다면 우리는 그 중 하나를 선택할 이유가 없습니다. 즉, 항목이 어느 숫자에 해당하는지 말할 수 없습니다. 0: 0 . 그렇다면 우리는 이 항목도 말이 되지 않는다는 점을 인정하지 않을 수 없습니다. 0도 0으로 나눌 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. (수학적 분석에서는 문제의 추가 조건으로 인해 방정식에 대한 가능한 솔루션 중 하나를 선호할 수 있는 경우가 있습니다. 0x=0; 이런 경우 수학자들은 '불확실성 전개'를 이야기하지만, 산술에서는 그런 경우가 발생하지 않습니다.)
이것이 분할작업의 특징이다. 보다 정확하게는 곱셈 연산과 그에 관련된 숫자는 0입니다.
글쎄, 여기까지 읽고 가장 세심한 사람들은 다음과 같이 질문할 수 있습니다. 왜 0으로 나눌 수는 없지만 0을 뺄 수는 있습니까? 어떤 의미에서 이것은 실제 수학이 시작되는 곳입니다. 숫자 집합과 그에 대한 연산의 공식적인 수학적 정의에 익숙해져야만 이에 답할 수 있습니다. 그다지 어렵지는 않지만 어떤 이유에서인지 학교에서는 가르치지 않습니다. 그런데 대학의 수학강의에서는 우선 이런 내용을 배우게 됩니다.
제수가 0인 범위에 대해서는 나누기 함수가 정의되어 있지 않습니다. 나눌 수는 있지만 결과는 확실하지 않습니다
0으로 나눌 수는 없습니다. 중학교 2학년 수학.
내 기억이 정확하다면 0은 극소값으로 표현될 수 있으므로 무한대가 있을 것입니다. 그리고 학교 "0-아무것도"는 단지 단순화 된 것입니다. 학교 수학에는 너무 많습니다. 하지만 그들 없이는 불가능합니다. 모든 것이 제때에 일어날 것입니다.
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0으로 나누기
몫 0으로 나누기 0 이외의 숫자는 없습니다.
여기서의 추론은 다음과 같습니다. 이 경우 어떤 숫자도 몫의 정의를 만족할 수 없기 때문입니다.
예를 들어 다음과 같이 작성해 보겠습니다.
어떤 숫자(예: 2, 3, 7)를 시도하더라도 다음과 같은 이유로 적합하지 않습니다.
\[ 2 0 = 0 \]
\[ 3 0 = 0 \]
\[ 7 0 = 0 \]
0으로 나누면 어떻게 될까요?
등이지만 제품에 2,3,7이 필요합니다.
0이 아닌 숫자를 0으로 나누는 문제에는 해결책이 없다고 말할 수 있습니다. 그러나 0이 아닌 숫자는 원하는 만큼 0에 가까운 숫자로 나눌 수 있으며, 제수가 0에 가까울수록 몫은 더 커집니다. 그래서 7을 다음과 같이 나누면
\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]
그런 다음 우리는 70, 700, 7000, 70,000 등의 몫을 얻습니다. 이는 제한 없이 증가합니다.
그러므로 그들은 종종 7을 0으로 나눈 몫이 "무한히 크다" 또는 "무한대와 같다"고 말하고 다음과 같이 씁니다.
\[ 7: 0 = \무한 \]
이 표현의 의미는 제수가 0에 가까워지고 배당금이 7과 같거나(또는 7에 가까워지면) 몫이 제한 없이 증가한다는 것입니다.
많은 사람들이 왜 0으로 나누기를 사용할 수 없는지 궁금해합니다. 이 글에서는 이 규칙이 어디서 왔는지, 그리고 0으로 어떤 작업을 수행할 수 있는지에 대해 자세히 설명하겠습니다.
0은 가장 흥미로운 숫자 중 하나라고 할 수 있습니다. 이 숫자는 의미가 없습니다, 그것은 문자 그대로의 의미에서 공허함을 의미합니다. 그러나 숫자 옆에 0이 있으면 이 숫자의 값은 몇 배 더 커집니다.
숫자 자체가 참 신비롭습니다. 고대 마야인들이 사용했던 것입니다. 마야인들에게 0은 '시작'을 의미했고, 역일도 0에서 시작되었습니다.
매우 흥미로운 사실 0 기호와 불확실성 기호가 유사하다는 것입니다. 이를 통해 마야인들은 0이 불확실성과 동일한 기호임을 보여주고 싶었습니다. 유럽에서는 비교적 최근에 0이라는 명칭이 나타났습니다.
많은 사람들은 또한 0과 관련된 금지 사항을 알고 있습니다. 누구라도 그렇게 말하겠지만 0으로 나눌 수는 없어요. 학교 선생님들은 이렇게 말하며, 아이들은 대개 그 말을 그대로 받아들입니다. 일반적으로 아이들은 단순히 이것을 아는 데 관심이 없거나 중요한 금지 사항을 듣고 즉시 "왜 0으로 나눌 수 없습니까? "라고 묻는 경우 어떤 일이 일어날 지 알고 있습니다. 그러나 나이가 들면 관심이 생기고 이러한 금지 이유에 대해 더 알고 싶어집니다. 그러나 합리적인 증거가 있습니다.
0이 있는 작업
먼저 0으로 수행할 수 있는 작업을 결정해야 합니다. 존재한다 여러 종류의 동작:
- 덧셈;
- 곱셈;
- 빼기;
- 나누기(숫자로 0);
- 지수화.
중요한!덧셈 중에 숫자에 0을 추가하면 이 숫자는 동일하게 유지되며 숫자 값이 변경되지 않습니다. 어떤 숫자에서 0을 빼더라도 같은 일이 발생합니다.
곱셈과 나눗셈을 하면 조금 다릅니다. 만약에 임의의 숫자에 0을 곱합니다., 그러면 곱도 0이 됩니다.
예를 살펴보겠습니다:
추가로 다음과 같이 작성해 보겠습니다.
총 5개의 0이 있으므로 다음과 같습니다.
1과 0을 곱해 봅시다. 결과도 0이 됩니다.
0은 동일하지 않은 다른 숫자로 나눌 수도 있습니다. 이 경우 결과는 이고 값도 0이 됩니다. 음수에도 동일한 규칙이 적용됩니다. 0을 음수로 나누면 결과는 0입니다.
어떤 숫자든 구성할 수도 있습니다. 0도까지. 이 경우 결과는 1이 됩니다. "0의 0승"이라는 표현은 전혀 의미가 없다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 0을 거듭제곱하려고 하면 0이 됩니다. 예:
곱셈의 법칙을 사용하여 0을 얻습니다.
그럼 0으로 나누는 것이 가능한가요?
자, 여기서 우리는 주요 질문에 도달합니다. 0으로 나누는 것이 가능한가요?조금도? 그리고 0이 있는 다른 모든 작업이 존재하고 적용되는데 왜 숫자를 0으로 나누는 것이 불가능합니까? 이 질문에 대답하려면 더 높은 수준의 수학으로 전환할 필요가 있습니다.
개념의 정의부터 시작하겠습니다. 0은 무엇입니까? 학교 선생님그들은 0은 아무것도 아니라고 말합니다. 공. 즉, 핸들이 0개 있다고 말하면 핸들이 전혀 없다는 뜻입니다.
고등 수학에서는 "0"의 개념이 더 광범위합니다. 그것은 전혀 공허함을 의미하지 않습니다. 여기서 0을 불확실성이라고 합니다. 조금만 연구하면 0을 0으로 나눌 때 반드시 0이 아닐 수도 있는 다른 숫자가 나올 수 있다는 사실이 밝혀지기 때문입니다.
학교에서 배운 간단한 산술 연산이 서로 같지 않다는 것을 알고 계셨습니까? 가장 기본적인 동작은 덧셈과 곱셈.
수학자에게는 ""와 "뺄셈"이라는 개념이 존재하지 않습니다. 예를 들어, 5에서 3을 빼면 2가 남습니다. 이것이 뺄셈의 모습입니다. 그러나 수학자들은 다음과 같이 씁니다.
따라서 알 수 없는 차이는 5를 얻기 위해 3에 더해야 하는 특정 숫자임이 밝혀졌습니다. 즉, 아무것도 뺄 필요가 없으며 적절한 숫자만 찾으면 됩니다. 이 규칙은 추가에도 적용됩니다.
와는 상황이 조금 다릅니다 곱셈과 나눗셈의 법칙. 0을 곱하면 결과가 0이 되는 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어, 3:0=x인 경우 항목을 반대로 하면 3*x=0이 됩니다. 그리고 0을 곱한 숫자는 곱에서 0이 됩니다. 0이 있는 곱에는 0이 아닌 다른 값을 주는 숫자가 없다는 것이 밝혀졌습니다. 이는 0으로 나누는 것이 의미가 없다는 것을 의미합니다. 즉, 우리의 규칙에 적합합니다.
하지만 0 자체를 그 자체로 나누려고 하면 어떻게 될까요? 어떤 불확실한 숫자를 x로 봅시다. 결과 방정식은 0*x=0입니다. 해결될 수 있습니다.
x 대신 0을 사용하려고 하면 0:0=0이 됩니다. 논리적인 것 같나요? 그러나 x 대신 다른 숫자(예: 1)를 사용하려고 하면 0:0=1이 됩니다. 다른 번호를 사용하면 동일한 상황이 발생합니다. 방정식에 대입해 보세요.
이 경우 다른 숫자를 요소로 사용할 수 있는 것으로 나타났습니다. 결과는 무한한 수의 다른 숫자가 될 것입니다. 때로는 고등 수학에서 0으로 나누는 것이 여전히 의미가 있지만 일반적으로 적절한 숫자 하나를 선택할 수 있는 특정 조건이 나타납니다. 이 조치를 "불확실성 공개"라고 합니다. 일반 산술에서 0으로 나누면 집합에서 하나의 숫자를 선택할 수 없기 때문에 다시 그 의미를 잃게 됩니다.
중요한! 0을 0으로 나눌 수는 없습니다.
0과 무한대
무한대는 고등 수학에서 매우 자주 발견됩니다. 무한한 수학적 연산도 있다는 것을 학생들이 아는 것이 중요하지 않기 때문에 교사는 왜 0으로 나누는 것이 불가능한지 아이들에게 제대로 설명할 수 없습니다.
학생들은 학원의 첫해에만 기본적인 수학 비밀을 배우기 시작합니다. 고등 수학은 해결책이 없는 크고 복잡한 문제를 제공합니다. 가장 유명한 문제는 무한대 문제입니다. 다음을 사용하여 해결할 수 있습니다. 수학적 분석.
무한대에도 적용 가능 기본 수학 연산:더하기, 숫자 곱하기. 일반적으로 뺄셈과 나눗셈도 사용되지만 결국에는 여전히 두 가지 간단한 연산으로 귀결됩니다.
하지만 무슨 일이 일어날까요? 당신이 시도한다면:
- 무한대에 0을 곱합니다. 이론적으로 어떤 숫자에 0을 곱하려고 하면 0이 됩니다. 그러나 무한대는 무한한 숫자의 집합입니다. 이 집합에서 하나의 숫자를 선택할 수 없기 때문에 p*0이라는 표현은 답이 없으며 전혀 의미가 없습니다.
- 0을 무한대로 나눈 값입니다. 위와 같은 이야기가 여기서도 일어나고 있습니다. 우리는 하나의 숫자를 선택할 수 없습니다. 즉, 무엇으로 나누어야 할지 모른다는 의미입니다. 표현에는 의미가 없습니다.
중요한!무한대는 불확실성과는 조금 다릅니다! 무한대는 불확실성의 유형 중 하나입니다.
이제 무한대를 0으로 나누어 보겠습니다. 불확실성이 있어야 할 것 같습니다. 그러나 나눗셈을 곱셈으로 대체하려고 하면 매우 명확한 답을 얻게 됩니다.
예를 들면 다음과 같습니다: /0==*1/0= 0*== 0.
다음과 같이 밝혀졌습니다 수학적 역설.
0으로 나눌 수 없는 이유에 대한 답
0으로 나누려고 하는 사고 실험
결론
이제 우리는 하나의 단일 작업을 제외하고 수행되는 거의 모든 작업에 0이 적용된다는 것을 알고 있습니다. 결과가 불확실하다는 이유만으로 0으로 나눌 수는 없습니다. 또한 0과 무한대를 사용하여 연산을 수행하는 방법도 배웠습니다. 그러한 행동의 결과는 불확실할 것입니다.
수학에서의 수 영특별한 자리를 차지하고 있습니다. 사실 그것은 본질적으로 "아무것도", "공허함"을 의미하지만 그 중요성은 정말 과대평가하기 어렵습니다. 이렇게하려면 적어도 정확히 무엇을 기억하는 것으로 충분합니까? 제로 마크좌표계에서 점 위치의 좌표 계산이 시작됩니다.
영소수점 앞과 뒤의 "빈"자리 값을 결정하기 위해 소수점 이하 자릿수에서 널리 사용됩니다. 또한, 산술의 기본 규칙 중 하나가 이와 연관되어 있는데, 이는 다음과 같습니다. 영나눌 수 없습니다. 엄밀히 말하면 그 논리는 이 숫자의 본질에서 비롯됩니다. 실제로 이 숫자와 다른 값(및 그 자체도)이 "없음"으로 분할될 것이라고 상상하는 것은 불가능합니다.
계산 예
와 함께 영모든 산술 연산이 수행되며 정수, 일반 및 소수를 "파트너"로 사용할 수 있으며 모두 양수 값과 음수 값을 모두 가질 수 있습니다. 구현 예와 이에 대한 몇 가지 설명을 들어보겠습니다.
덧셈
추가할 때 영특정 숫자(정수와 분수, 양수와 음수)로 변환해도 그 값은 전혀 변하지 않습니다.
실시예 1스물넷 플러스 영 24와 같습니다.
실시예 217.3/8 더하기 영 17.3/8입니다.
곱셈
임의의 숫자(정수, 분수, 양수 또는 음수)를 곱할 때 영그것은 밝혀졌다 영.
실시예 1오백여든여섯 번 영같음 영.
실시예 2영 135.67을 곱하면 다음과 같습니다. 영.
실시예 3영곱하다 영같음 영.
분할
숫자 중 하나가 0인 경우 숫자를 서로 나누는 규칙은 0 자체가 어떤 역할을 하는지에 따라 다릅니다: 배당 또는 제수?
다음과 같은 경우 영는 피제수를 나타내며 결과는 제수 값에 관계없이 항상 그것과 같습니다.
실시예 1영이백육십오로 나누면 다음과 같습니다. 영.
실시예 2영 17596으로 나누면 다음과 같습니다. 영.
| 0: | = 0 |
나누다 0에서 0으로수학의 법칙에 따르면 그것은 불가능하다. 이는 그러한 절차가 수행될 때 몫이 불확실하다는 것을 의미합니다. 따라서 이론적으로는 절대적으로 모든 숫자를 나타낼 수 있습니다.
0: 0 = 8 왜냐하면 8 × 0 = 0이기 때문입니다.
수학에는 다음과 같은 문제가 있다. 0을 0으로 나누기, 결과가 무한 집합이기 때문에 의미가 없습니다. 그러나 이 진술은 최종 결과에 영향을 미칠 수 있는 추가 데이터가 제공되지 않는 경우에 해당됩니다.
만약 존재한다면, 배당금과 제수 크기의 변화 정도를 나타내는 것으로 구성되어야 하며, 심지어 그것들이 변하는 순간 이전에도 마찬가지입니다. 영. 이것이 정의된 경우 다음과 같은 표현식이 사용됩니다. 영나누기 영, 대부분의 경우 어떤 의미가 첨부될 수 있습니다.
숫자 0은 실수의 세계와 허수 또는 음수의 세계를 구분하는 특정 경계로 상상될 수 있습니다. 모호한 위치로 인해 이 수치를 사용하는 많은 연산은 수학적 논리를 따르지 않습니다. 0으로 나눌 수 없다는 것이 이에 대한 대표적인 예입니다. 그리고 일반적으로 허용되는 정의를 사용하여 0이 포함된 허용된 산술 연산을 수행할 수 있습니다.
제로의 역사
0은 모든 표준 숫자 체계의 기준점입니다. 유럽인들은 비교적 최근에 이 숫자를 사용하기 시작했지만, 유럽 수학자들이 빈 숫자를 정기적으로 사용하기 1000년 전에 고대 인도의 현자들은 0을 사용했습니다. 인디언 이전에도 마야 숫자 체계에서는 0이 필수 값이었습니다. 이 미국인들은 십이진수 체계를 사용했고, 매달 첫날은 0으로 시작했습니다. 마야인들 사이에서 "0"을 나타내는 기호가 "무한대"를 나타내는 기호와 완전히 일치한다는 것은 흥미 롭습니다. 따라서 고대 마야인들은 이러한 양이 동일하며 알 수 없다고 결론지었습니다.
0을 사용한 수학 연산
0이 있는 표준 수학 연산은 몇 가지 규칙으로 축소될 수 있습니다.
추가: 임의의 숫자에 0을 추가하면 값이 변경되지 않습니다(0+x=x).
빼기: 임의의 숫자에서 0을 빼면 빼기 값은 변경되지 않습니다(x-0=x).
곱셈: 0을 곱하면 0이 생성됩니다(a*0=0).
나누기: 0은 어떤 숫자로도 나눌 수 있지만 0과 같음. 이 경우 해당 분수의 값은 0이 됩니다. 그리고 0으로 나누는 것은 금지됩니다.
지수화. 이 작업은 어떤 숫자로도 수행할 수 있습니다. 임의의 숫자를 0으로 거듭제곱하면 1(x 0 =1)이 됩니다.
0의 거듭제곱은 0과 같습니다(0 a = 0).
이 경우 즉시 모순이 발생합니다. 0 0이라는 표현은 의미가 없습니다.
수학의 역설
많은 사람들이 0으로 나누는 것이 불가능하다는 것을 알고 있습니다. 학창시절. 그러나 어떤 이유로 그러한 금지 이유를 설명하는 것은 불가능합니다. 실제로 0으로 나누는 공식은 왜 존재하지 않는데 이 숫자를 사용한 다른 작업이 상당히 합리적이고 가능합니까? 이 질문에 대한 답은 수학자들이 제공합니다.
문제는 초등학교에서 학생들이 배우는 일반적인 산술 연산이 실제로 우리가 생각하는 것만큼 동일하지 않다는 것입니다. 모든 간단한 숫자 연산은 덧셈과 곱셈의 두 가지로 줄일 수 있습니다. 이러한 동작은 바로 숫자 개념의 본질을 구성하며 다른 작업은 이 두 가지를 사용하여 구축됩니다.
덧셈과 곱셈
표준 뺄셈의 예를 들어보겠습니다: 10-2=8. 학교에서는 단순히 10과목에서 2과목을 빼면 8과목이 남는다고 생각합니다. 그러나 수학자들은 이 연산을 완전히 다르게 본다. 결국 뺄셈과 같은 연산은 존재하지 않습니다. 이 예는 다른 방식으로 작성할 수 있습니다: x+2=10. 수학자에게 있어서 알려지지 않은 차이는 단순히 8을 만들기 위해 2에 더해야 하는 숫자일 뿐입니다. 여기서는 뺄셈이 필요하지 않으며 적절한 숫자 값만 찾으면 됩니다.
곱셈과 나눗셈은 동일하게 취급됩니다. 12:4=3의 예에서는 다음을 이해할 수 있습니다. 우리 얘기 중이야여덟 개의 물체를 두 개의 동일한 더미로 나누는 것에 대해. 그러나 실제로 이것은 3x4 = 12를 쓰는 역공식일 뿐입니다. 이러한 나눗셈의 예는 끝없이 주어질 수 있습니다.
0으로 나누는 예
여기서 왜 0으로 나눌 수 없는지 조금 명확해집니다. 0으로 곱셈과 나눗셈은 고유한 규칙을 따릅니다. 이 양을 나누는 모든 예는 6:0 = x로 공식화될 수 있습니다. 그러나 이것은 6 * x = 0이라는 표현을 거꾸로 표기한 것입니다. 그러나 아시다시피 숫자에 0을 곱하면 결과적으로 0만 제공됩니다. 이 속성은 0 값이라는 개념에 내재되어 있습니다.
0을 곱하면 실질적인 가치를 제공하는 숫자가 없다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, 이 문제에는 해결책이 없습니다. 이 답변을 두려워해서는 안 됩니다. 이는 이러한 유형의 문제에 대한 자연스러운 답변입니다. 단지 6:0 기록이 의미가 없고 아무것도 설명할 수 없다는 것뿐입니다. 한마디로 이 표현은 불후의 명제인 '0으로 나누는 것은 불가능하다'로 설명할 수 있다.
0:0 작업이 있나요? 과연 0을 곱하는 연산이 합법적이라면 0을 0으로 나눌 수 있을까요? 결국, 0x 5=0 형식의 방정식은 매우 합법적입니다. 숫자 5 대신 0을 입력해도 제품은 변경되지 않습니다.
실제로는 0x0=0입니다. 하지만 여전히 0으로 나눌 수는 없습니다. 앞서 언급했듯이 나눗셈은 단순히 곱셈의 역수입니다. 따라서 예에서 0x5=0인 경우 두 번째 요소를 결정해야 하면 0x0=5가 됩니다. 아니면 10. 아니면 무한대. 무한대를 0으로 나누는 것 - 마음에 드시나요?
그러나 어떤 숫자가 표현식에 들어맞는다면, 우리는 무한한 숫자 중에서 하나만 선택할 수 없습니다. 그렇다면 이는 0:0이라는 표현이 의미가 없다는 뜻입니다. 0 자체도 0으로 나눌 수 없다는 것이 밝혀졌습니다.
고등 수학
0으로 나누는 것은 고등학교 수학에서 골칫거리입니다. 기술 대학에서 공부하는 수학적 분석은 해결책이 없는 문제의 개념을 약간 확장합니다. 예를 들어, 학교 수학 과정에는 답이 없는 이미 알려진 0:0 표현식에 새로운 표현식이 추가됩니다.
- 무한대를 무한대로 나눈 값: 무한대:무한대;
- 무한대 빼기 무한대: 무한대-무한대;
- 무한 거듭제곱으로 올려진 단위: 1 ;
- 무한대에 0을 곱함: 무한대*0;
- 다른 사람들.
이러한 표현을 초보적인 방법으로 해결하는 것은 불가능합니다. 그러나 많은 유사한 예에 대한 추가 가능성 덕분에 고등 수학은 최종 솔루션을 제공합니다. 이는 극한 이론의 문제를 고려할 때 특히 분명합니다.
불확실성 해소
극한 이론에서는 값 0이 조건부 무한소 변수로 대체됩니다. 그리고 다음과 같은 표현을 대체할 때 원하는 값 0으로 나눈 값이 얻어지고 변환됩니다. 다음은 일반적인 대수 변환을 사용하여 극한을 확장하는 표준 예입니다.
예에서 볼 수 있듯이 단순히 분수를 줄이면 그 값이 완전히 합리적인 대답으로 이어집니다.
삼각 함수의 한계를 고려할 때 그 표현은 첫 번째 놀라운 한계로 축소되는 경향이 있습니다. 극한을 대체하면 분모가 0이 되는 극한을 고려할 때, 두 번째로 주목할만한 극한이 사용됩니다.
로피탈 방식
어떤 경우에는 표현의 극한이 파생어의 극한으로 대체될 수 있습니다. 기욤 로피탈(Guillaume L'Hopital) - 프랑스 수학자, 프랑스 수학적 분석 학교의 창립자. 그는 표현의 극한이 이러한 표현의 파생어의 극한과 동일하다는 것을 증명했습니다. 수학 표기법에서 그의 규칙은 다음과 같습니다.
0 자체는 매우 흥미로운 숫자입니다. 그 자체로는 공허함, 의미 부족을 의미하며 다른 숫자 옆에 있으면 그 의미가 10배 증가합니다. 0의 거듭제곱에 해당하는 숫자는 항상 1이 됩니다. 이 기호는 마야 문명에서 사용되었으며 "시작, 원인"이라는 개념을 나타내기도 했습니다. 달력도 0일부터 시작되었습니다. 이 수치는 엄격한 금지와도 관련이 있습니다.
처음부터 학년우리 모두는 "0으로 나눌 수 없다"는 규칙을 분명히 배웠습니다. 그러나 어린 시절에 믿음으로 많은 것을 받아들이고 성인의 말이 거의 의심을 일으키지 않는다면 시간이 지남에 따라 때때로 이유를 이해하고 특정 규칙이 설정된 이유를 이해하고 싶을 때가 있습니다.
왜 0으로 나눌 수 없나요? 나는 이 질문에 대한 명확한 논리적 설명을 듣고 싶습니다. 1학년 때 교사들은 이것을 할 수 없었습니다. 왜냐하면 수학에서는 방정식을 사용하여 규칙을 설명하고 그 나이에는 그것이 무엇인지 전혀 몰랐기 때문입니다. 이제 그것을 알아내고 왜 0으로 나눌 수 없는지에 대한 명확한 논리적 설명을 얻을 때입니다.
사실 수학에서는 숫자가 포함된 네 가지 기본 연산(+, -, x, /) 중 두 가지(곱셈과 덧셈)만 독립적으로 인식됩니다. 나머지 작업은 파생상품으로 간주됩니다. 간단한 예를 살펴보겠습니다.
20에서 18을 빼면 얼마인지 말해 보세요. 당연히 대답은 즉시 우리 머릿속에 떠오릅니다. 그것은 2가 될 것입니다. 우리는 어떻게 이 결과를 얻었습니까? 이 질문은 어떤 사람들에게는 이상하게 보일 것입니다. 결국 결과가 2가 될 것이라는 것이 모든 것이 분명하고 누군가가 그가 20 코펙에서 18 코펙을 가져와 2 코펙을 얻었다 고 설명 할 것입니다. 논리적으로 이 모든 대답은 의심의 여지가 없지만 수학적 관점에서 보면 이 문제는 다르게 해결되어야 합니다. 수학의 주요 연산은 곱셈과 덧셈이므로 우리의 경우 답은 다음 방정식을 푸는 데 있습니다. x + 18 = 20. x = 20 - 18, x = 2 . 왜 모든 것을 그렇게 자세히 설명하는 것 같습니까? 결국 모든 것이 너무 간단합니다. 그러나 이것이 없으면 왜 0으로 나눌 수 없는지 설명하기 어렵습니다.
이제 18을 0으로 나누면 어떻게 되는지 살펴보겠습니다. 방정식을 다시 만들어 보겠습니다: 18:0 = x. 나누기 연산은 곱셈 절차의 파생이므로 방정식을 변환하면 x * 0 = 18이 됩니다. 여기서 막다른 골목이 시작됩니다. 0을 곱하면 X 자리에 숫자가 있으면 0이 되며 18을 얻을 수 없습니다. 이제 왜 0으로 나눌 수 없는지 매우 분명해졌습니다. 0 자체는 어떤 숫자로도 나눌 수 있지만 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 아쉽게도 불가능합니다.
0을 그 자체로 나누면 어떻게 될까요? 이는 다음과 같이 작성할 수 있습니다: 0: 0 = x 또는 x * 0 = 0. 이 방정식에는 무한한 수의 해가 있습니다. 따라서 최종 결과는 무한대입니다. 따라서 이 경우의 조작도 의미가 없습니다.
0으로 나누기는 원하는 경우 무지한 사람을 당황하게 만드는 데 사용할 수 있는 많은 상상 속의 수학 농담의 근원입니다. 예를 들어, 방정식을 생각해 보세요: 4*x - 20 = 7*x - 35. 왼쪽의 괄호에서 4를, 오른쪽의 괄호에서 7을 빼면 4*(x - 5) = 7*(x)가 됩니다. - 5). 이제 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 분수 1/(x - 5)를 곱해 보겠습니다. 방정식은 다음 형식을 취합니다: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). 분수를 (x - 5)로 줄이면 4 = 7이 됩니다. 이것으로부터 우리는 2*2 = 7이라는 결론을 내릴 수 있습니다! 물론 여기서 중요한 점은 5와 같고 분수를 취소하는 것이 불가능하다는 것입니다. 이로 인해 0으로 나누게 되었기 때문입니다. 따라서 분수를 줄일 때 실수로 0이 분모에 들어가지 않는지 항상 확인해야 합니다. 그렇지 않으면 결과를 완전히 예측할 수 없게 됩니다.
