Est-il possible de diviser par une valeur égale à zéro. Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ? Une explication simple de la vie

Le nombre 0 peut être imaginé comme une certaine frontière séparant le monde des nombres réels de ceux imaginaires ou négatifs. En raison de la position ambiguë, de nombreuses opérations avec cette valeur numérique n'obéissent pas à la logique mathématique. L’impossibilité de diviser par zéro en est un excellent exemple. Et les opérations arithmétiques autorisées avec zéro peuvent être effectuées en utilisant des définitions généralement acceptées.

Histoire de zéro

Le zéro est le point de référence dans tous les systèmes numériques standard. Les Européens ont commencé à utiliser ce numéro relativement récemment, mais les sages Inde ancienne utilisaient zéro mille ans avant que le nombre vide ne soit régulièrement utilisé par les mathématiciens européens. Même avant les Indiens, zéro était une valeur obligatoire dans le système numérique maya. Ces Américains utilisaient le système de numérotation duodécimal et le premier jour de chaque mois commençait par un zéro. Il est intéressant de noter que chez les Mayas, le signe désignant « zéro » coïncidait complètement avec le signe désignant « l'infini ». Ainsi, les anciens Mayas concluaient que ces quantités étaient identiques et inconnaissables.

Opérations mathématiques avec zéro

Les opérations mathématiques standard avec zéro peuvent être réduites à quelques règles.

Ajout : si vous ajoutez zéro à un nombre arbitraire, cela ne changera pas sa valeur (0+x=x).

Soustraction : lors de la soustraction de zéro à un nombre quelconque, la valeur de la soustraction reste inchangée (x-0=x).

Multiplication : tout nombre multiplié par 0 produit 0 (a*0=0).

Division : zéro peut être divisé par n'importe quel nombre différent de zéro. Dans ce cas, la valeur d'une telle fraction sera 0. Et la division par zéro est interdite.

Exponentiation. Cette action peut être effectuée avec n'importe quel numéro. Un nombre arbitraire élevé à la puissance zéro donnera 1 (x 0 =1).

Zéro à n’importe quelle puissance est égal à 0 (0 a = 0).

Dans ce cas, une contradiction surgit immédiatement : l'expression 0 0 n'a pas de sens.

Paradoxes des mathématiques

Beaucoup de gens savent que la division par zéro est impossible. jours d'école. Mais pour une raison quelconque, il est impossible d'expliquer la raison d'une telle interdiction. En fait, pourquoi la formule pour diviser par zéro n'existe-t-elle pas, mais d'autres actions avec ce nombre sont tout à fait raisonnables et possibles ? La réponse à cette question est donnée par les mathématiciens.

Le fait est que les opérations arithmétiques habituelles que les écoliers apprennent à l’école primaire ne sont en fait pas aussi égales qu’on le pense. Toutes les opérations simples sur les nombres peuvent être réduites à deux : l’addition et la multiplication. Ces actions constituent l’essence même du concept de nombre, et d’autres opérations se construisent sur l’utilisation de ces deux éléments.

Addition et multiplication

Prenons un exemple de soustraction standard : 10-2=8. À l'école, on considère cela simplement : si on soustrait deux de dix matières, il en reste huit. Mais les mathématiciens envisagent cette opération d’une manière complètement différente. Après tout, une opération telle que la soustraction n’existe pas pour eux. Cet exemple peut s'écrire autrement : x+2=10. Pour les mathématiciens, la différence inconnue est simplement le nombre qu’il faut ajouter à deux pour obtenir huit. Et aucune soustraction n'est requise ici, il vous suffit de trouver la valeur numérique appropriée.

La multiplication et la division sont traitées de la même manière. Dans l'exemple 12:4=3, vous pouvez comprendre que nous parlons deà propos de diviser huit objets en deux piles égales. Mais en réalité, il ne s’agit que d’une formule inversée pour écrire 3x4 = 12. De tels exemples de division peuvent être donnés à l’infini.

Exemples de division par 0

C’est là que l’on comprend un peu pourquoi on ne peut pas diviser par zéro. La multiplication et la division par zéro suivent leurs propres règles. Tous les exemples de division de cette quantité peuvent être formulés comme suit : 6:0 = x. Mais il s'agit d'une notation inversée de l'expression 6 * x = 0. Mais comme vous le savez, tout nombre multiplié par 0 ne donne que 0 dans le produit. Cette propriété est inhérente à la notion même de valeur nulle.

Il s'avère qu'il n'existe pas de nombre qui, multiplié par 0, donne une valeur tangible, c'est-à-dire que ce problème n'a pas de solution. Vous ne devriez pas avoir peur de cette réponse ; c’est une réponse naturelle aux problèmes de ce type. C'est juste que le record 6:0 n'a aucun sens et ne peut rien expliquer. Bref, cette expression peut s’expliquer par l’immortel « la division par zéro est impossible ».

Y a-t-il une opération 0:0 ? En effet, si l’opération de multiplication par 0 est légale, zéro peut-il être divisé par zéro ? Après tout, une équation de la forme 0x 5=0 est tout à fait légale. Au lieu du chiffre 5 vous pouvez mettre 0, le produit ne changera pas.

En effet, 0x0=0. Mais on ne peut toujours pas diviser par 0. Comme indiqué, la division est simplement l’inverse de la multiplication. Ainsi, si dans l’exemple 0x5=0, il faut déterminer le deuxième facteur, on obtient 0x0=5. Ou 10. Ou l'infini. Diviser l'infini par zéro - ça vous plaît ?

Mais si un nombre quelconque rentre dans l’expression, alors cela n’a pas de sens ; nous ne pouvons pas en choisir un seul parmi un nombre infini de nombres. Et si c’est le cas, cela signifie que l’expression 0:0 n’a aucun sens. Il s’avère que même zéro lui-même ne peut pas être divisé par zéro.

Mathématiques supérieures

La division par zéro est un casse-tête pour les mathématiques scolaires. L'analyse mathématique étudiée dans les universités techniques élargit légèrement la notion de problèmes sans solution. Par exemple, de nouvelles expressions sont ajoutées à l'expression déjà connue 0:0, qui n'ont pas de solutions dans les cours de mathématiques à l'école :

l'infini divisé par l'infini : ?:?;
l'infini moins l'infini : ???;
unité élevée à une puissance infinie : 1 ? ;
l'infini multiplié par 0 : ?*0 ;
Quelques autres.

Il est impossible de résoudre de telles expressions à l’aide de méthodes élémentaires. Mais les mathématiques supérieures, grâce à des possibilités supplémentaires pour un certain nombre d'exemples similaires, fournissent des solutions finales. Cela est particulièrement évident dans l’examen des problèmes issus de la théorie des limites.

Libérer l’incertitude

Dans la théorie des limites, la valeur 0 est remplacée par une variable infinitésimale conditionnelle. Et les expressions dans lesquelles, en substituant Valeur souhaitée la division par zéro est obtenue et convertie. Vous trouverez ci-dessous un exemple standard de révélation d'une limite à l'aide de transformations algébriques ordinaires :

Comme vous pouvez le voir dans l’exemple, la simple réduction d’une fraction conduit à une réponse tout à fait rationnelle.

Lorsqu’on considère les limites des fonctions trigonométriques, leurs expressions ont tendance à se réduire à la première limite remarquable. Lorsque l'on considère des limites dans lesquelles le dénominateur devient 0 lorsque la limite est substituée, une deuxième limite remarquable est utilisée.

Méthode L'Hôpital

Dans certains cas, les limites des expressions peuvent être remplacées par les limites de leurs dérivées. Guillaume L'Hôpital est un mathématicien français, fondateur de l'école française d'analyse mathématique. Il a prouvé que les limites des expressions sont égales aux limites des dérivées de ces expressions. En notation mathématique, sa règle ressemble à ceci.

Actuellement, la méthode de L'Hôpital est utilisée avec succès pour résoudre des incertitudes de type 0:0 ou ?:?.

Comment diviser et multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc.?

Écrivez les règles de division et de multiplication.

Pour multiplier un nombre par 0,1, il suffit de déplacer la virgule décimale.

Par exemple, c'était 56 , c'est devenu 5,6 .

Pour diviser par le même nombre, il faut déplacer la virgule dans le sens opposé :

Par exemple, c'était 56 , c'est devenu 560 .

Avec le nombre 0,01, tout est pareil, mais vous devez le déplacer sur 2 chiffres, pas un.

En général, transférez autant de zéros que nécessaire.

Par exemple, il existe un numéro 123456789.

Vous devez le multiplier par 0,000000001

Il y a neuf zéros dans le nombre 0,000000001 (on compte aussi le zéro à gauche de la virgule décimale), ce qui signifie qu'on décale le nombre 123456789 de 9 chiffres :

C’était 123456789 et maintenant c’est 0,123456789.

Afin de ne pas multiplier, mais diviser par le même nombre, on décale dans l'autre sens :

C’était 123456789 et maintenant c’est 123456789000000000.

Pour décaler un entier de cette façon, on lui ajoute simplement un zéro. Et dans le fractionnaire on déplace la virgule.

Diviser un nombre par 0,1 correspond à multiplier ce nombre par 10

Diviser un nombre par 0,01 correspond à multiplier ce nombre par 100

Diviser par 0,001 équivaut à multiplier par 1000.

Pour faciliter la mémorisation, nous lisons le nombre par lequel nous devons diviser de droite à gauche, sans faire attention à la virgule, et multiplions par le nombre obtenu.

Exemple : 50 : 0,0001. C'est la même chose que 50 multiplié par (lu de droite à gauche sans virgule - 10 000) 10 000. Il s'avère que 500 000.

La même chose avec la multiplication, mais à l'envers :

400 x 0,01 équivaut à diviser 400 par (lu de droite à gauche sans virgule - 100) 100 : 400 : 100 = 4.

Pour ceux qui trouvent plus pratique de déplacer les virgules vers la droite lors de la division et vers la gauche lors de la multiplication lors de la multiplication et de la division par de tels nombres, vous pouvez le faire.

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5.5.6. Division par décimal

JE. Pour diviser un nombre par une fraction décimale, vous devez déplacer les virgules du dividende et du diviseur d'autant de chiffres vers la droite qu'il y a après la virgule décimale du diviseur, puis diviser par l'entier naturel.

Primairery.

Effectuer la division : 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Solution.

Exemple 1) 16,38: 0,7.

Dans le diviseur 0,7 il y a un chiffre après la virgule, déplaçons donc les virgules du dividende et du diviseur d’un chiffre vers la droite.

Ensuite, nous devrons diviser 163,8 sur 7 .

Effectuons la division selon la règle de division d'une fraction décimale par un nombre naturel.

Nous divisons comme on divise les nombres naturels. Comment supprimer le numéro 8 - le premier chiffre après la virgule (c'est-à-dire le chiffre à la dixième place), donc immédiatement mets une virgule dans le quotient et continuez à diviser.

Réponse : 23.4.

Exemple 2) 15,6: 0,15.

On déplace les virgules dans le dividende ( 15,6 ) et diviseur ( 0,15 ) deux chiffres à droite, puisque dans le diviseur 0,15 il y a deux chiffres après la virgule.

Nous rappelons que vous pouvez ajouter autant de zéros que vous le souhaitez à la fraction décimale de droite, et cela ne changera pas la fraction décimale.

15,6:0,15=1560:15.

Nous effectuons la division des nombres naturels.

Réponse : 104.

Exemple 3) 3,114: 4,5.

Déplacez les virgules du dividende et du diviseur d'un chiffre vers la droite et divisez 31,14 sur 45 selon la règle de division d'une fraction décimale par un nombre naturel.

3,114:4,5=31,14:45.

Dans le quotient on met une virgule dès qu'on enlève le nombre 1 à la dixième place. Ensuite, nous continuons à nous diviser.

Pour compléter la division, nous avons dû assigner zéro au numéro 9 - différences entre les nombres 414 Et 405 . (nous savons que des zéros peuvent être ajoutés à droite d'une décimale)

Réponse : 0,692.

Exemple 4) 53,84: 0,1.

Déplacez les virgules dans le dividende et le diviseur vers 1 numéro à droite.

On a: 538,4:1=538,4.

Analysons l'égalité : 53,84:0,1=538,4. Faites attention à la virgule dans le dividende dans cet exemple et à la virgule dans le quotient résultant. On remarque que la virgule dans le dividende a été déplacée vers 1 nombre à droite, comme si on multipliait 53,84 sur 10. (Voir la vidéo « Multiplier une décimale par 10, 100, 1000, etc. ») D'où la règle pour diviser une décimale par 0,1; 0,01; 0,001 etc.

II. Diviser une décimale par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite de 1, 2, 3, etc. (Diviser une décimale par 0,1, 0,01, 0,001, etc. revient à multiplier cette décimale par 10, 100, 1000, etc.)

Exemples.

Effectuer la division : 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Solution.

Exemple 1) 617,35: 0,1.

Selon la règle II division par 0,1 équivaut à multiplier par 10 , et déplacez la virgule dans le dividende 1 chiffre à droite:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Exemple 2) 0,235: 0,01.

Division par 0,01 équivaut à multiplier par 100 , ce qui signifie qu'on déplace la virgule dans le dividende sur 2 chiffres à droite:

2) 0,235:0,01=23,5.

Exemple 3) 2,7845: 0,001.

Parce que division par 0,001 équivaut à multiplier par 1000 , puis déplacez la virgule 3 chiffres à droite:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Exemple 4) 26,397: 0,0001.

Divisez un nombre décimal par 0,0001 - c'est la même chose que de le multiplier par 10000 (déplace la virgule par 4 chiffres droite). On a:

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Multiplication et division par des nombres de la forme 10, 100, 0,1, 0,01

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Cette leçon expliquera comment effectuer une multiplication et une division par des nombres de la forme 10, 100, 0,1, 0,001. Divers exemples sur ce sujet seront également résolus.

Multiplier des nombres par 10, 100

Exercice. Comment multiplier le nombre 25,78 par 10 ?

La notation décimale d'un nombre donné est une notation abrégée pour le montant. Il est nécessaire de le décrire plus en détail :

Il faut donc multiplier le montant. Pour ce faire, vous pouvez simplement multiplier chaque terme :

Il se trouve que...

On peut en conclure que multiplier une fraction décimale par 10 est très simple : il faut déplacer la virgule décimale vers la droite.

Exercice. Multipliez 25,486 par 100.

Multiplier par 100 équivaut à multiplier deux fois par 10. En d’autres termes, vous devez déplacer la virgule décimale deux fois vers la droite :

Diviser des nombres par 10, 100

Exercice. Divisez 25,78 par 10.

Comme dans le cas précédent, vous devez présenter le nombre 25,78 comme une somme :

Puisqu’il faut diviser la somme, cela équivaut à diviser chaque terme :

Il s'avère que pour diviser par 10, vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche. Par exemple:

Exercice. Divisez 124,478 par 100.

Diviser par 100 équivaut à diviser par 10 deux fois, donc la virgule décimale est déplacée vers la gauche de 2 places :

Règle de multiplication et division par 10, 100, 1000

Si une fraction décimale doit être multipliée par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite d'autant de positions qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

À l’inverse, si une fraction décimale doit être divisée par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la gauche d’autant de positions qu’il y a de zéros dans le multiplicateur.

Exemples lorsqu'il est nécessaire de déplacer une virgule, mais qu'il ne reste plus de chiffres

Multiplier par 100 signifie déplacer la décimale de deux places vers la droite.

Après le décalage, vous constaterez qu'il n'y a plus de chiffres après la virgule décimale, ce qui signifie qu'il manque la partie fractionnaire. Il n’y a alors pas besoin de virgule, le nombre est un entier.

Vous devez vous déplacer de 4 positions vers la droite. Mais il n’y a que deux chiffres après la virgule. Il convient de rappeler qu'il existe une notation équivalente pour la fraction 56,14.

Maintenant, multiplier par 10 000 est facile :

S'il n'est pas très clair pourquoi vous pouvez ajouter deux zéros à la fraction dans l'exemple précédent, alors la vidéo supplémentaire sur le lien peut vous aider.

Notations décimales équivalentes

L'entrée 52 signifie ce qui suit :

Si on met 0 devant, on obtient l'entrée 052. Ces entrées sont équivalentes.

Est-il possible de mettre deux zéros devant ? Oui, ces entrées sont équivalentes.

Examinons maintenant la fraction décimale :

Si vous attribuez zéro, vous obtenez :

Ces entrées sont équivalentes. De même, vous pouvez attribuer plusieurs zéros.

Ainsi, tout nombre peut avoir plusieurs zéros après la partie fractionnaire et plusieurs zéros avant la partie entière. Ce seront des entrées équivalentes du même numéro.

Puisqu'une division par 100 se produit, il est nécessaire de déplacer la virgule décimale de 2 positions vers la gauche. Il n'y a plus de chiffres à gauche de la virgule décimale. Il manque toute une partie. Cette notation est souvent utilisée par les programmeurs. En mathématiques, s’il n’y a pas de partie entière, alors on met un zéro à sa place.

Vous devez le déplacer vers la gauche de trois positions, mais il n'y a que deux positions. Si vous écrivez plusieurs zéros devant un nombre, ce sera une notation équivalente.

Autrement dit, lorsque vous vous déplacez vers la gauche, si les chiffres sont épuisés, vous devez les remplir de zéros.

DANS dans ce cas Il convient de rappeler qu'une virgule vient toujours après la partie entière. Alors:

Multiplier et diviser par 0,1, 0,01, 0,001

Multiplier et diviser par les nombres 10, 100, 1000 est une procédure très simple. La situation est exactement la même avec les nombres 0,1, 0,01, 0,001.

Exemple. Multipliez 25,34 par 0,1.

Écrivons la fraction décimale 0,1 comme une fraction ordinaire. Mais multiplier par équivaut à diviser par 10. Par conséquent, vous devez déplacer la virgule décimale d’une position vers la gauche :

De même, multiplier par 0,01 équivaut à diviser par 100 :

Exemple. 5,235 divisé par 0,1.

La solution de cet exemple est construite de la même manière : 0,1 est exprimé comme une fraction commune, et diviser par équivaut à multiplier par 10 :

Autrement dit, pour diviser par 0,1, vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite, ce qui équivaut à multiplier par 10.

Règle de multiplication et de division par 0,1, 0,01, 0,001

Multiplier par 10 et diviser par 0,1, c'est la même chose. La virgule doit être déplacée vers la droite d'une position.

Diviser par 10 et multiplier par 0,1, c'est la même chose. La virgule doit être déplacée vers la droite d'une position :

Exemples de résolution

Conclusion

Dans cette leçon, les règles de division et de multiplication par 10, 100 et 1000 ont été étudiées. De plus, les règles de multiplication et de division par 0,1, 0,01, 0,001 ont été examinées.

Des exemples d'application de ces règles ont été examinés et résolus.

Bibliographie

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1. Portail Internet "Festival" idées pédagogiques" (Source)

2. Portail Internet « Matematika-na.ru » (Source)

3. Portail Internet « School.xvatit.com » (Source)

Devoirs

3. Comparez les significations des expressions :

Actions avec zéro

Nombre en mathématiques zéro occupe une place particulière. Le fait est que cela signifie essentiellement « rien », « vide », mais sa signification est vraiment difficile à surestimer. Pour ce faire, il suffit de se rappeler au moins avec quoi exactement zéro et le comptage des coordonnées de la position du point dans n’importe quel système de coordonnées commence.

Zéro largement utilisé dans les fractions décimales pour déterminer les valeurs des places "vides", avant et après la virgule décimale. De plus, l'une des règles fondamentales de l'arithmétique y est associée, qui stipule que zéro ne peut pas être divisé. Sa logique, à proprement parler, découle de l'essence même de ce nombre : en effet, il est impossible d'imaginer qu'une valeur différente de lui (et elle-même aussi) se divise en « rien ».

AVEC zéro toutes les opérations arithmétiques sont effectuées et, comme « partenaires », elles peuvent utiliser des nombres entiers, des fractions ordinaires et décimales, et toutes peuvent avoir des valeurs positives et négatives. Donnons des exemples de leur mise en œuvre et quelques explications.

Lors de l'ajout zéroà un certain nombre (à la fois entier et fractionnaire, positif et négatif), sa valeur reste absolument inchangée.

vingt-quatre plus zéro est égal à vingt-quatre.

Dix-sept virgule trois huitièmes plus zéro est égal à dix-sept virgule trois huitièmes.

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Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ? Qui a interdit ? L'école nous interdit obstinément de diviser par 0, mais dès que l'on franchit le seuil de l'université, l'indulgence est accordée. Ce qui était considéré comme un tabou à l’école est désormais possible. Vous pouvez diviser par zéro et obtenir l'infini. Mathématiques supérieures... Enfin, presque. Cela peut s’expliquer plus simplement.

Histoire et philosophie du zéro

En fait, l'histoire de la division par zéro a hanté ses inventeurs (a). Mais les Indiens sont des philosophes habitués aux problèmes abstraits. Que signifie diviser par rien ? Pour les Européens de l’époque, une telle question n’existait pas du tout, puisqu’ils ne connaissaient ni le zéro ni les nombres négatifs (qui se trouvent à gauche de zéro sur l’échelle).

En Inde, soustraire un nombre plus grand d’un nombre plus petit et obtenir un nombre négatif ne posait pas de problème. Après tout, que signifie 3-5=-2 dans la vie de tous les jours ? Cela signifie que quelqu'un doit 2 à quelqu'un. Des numéros négatifs ont été appelés dettes.

Abordons maintenant la question de la division par zéro tout aussi simplement. En 598 après JC (pensez à combien de temps, il y a plus de 1 400 ans !), le mathématicien Brahmagupta est né en Inde, qui s'interrogeait également sur la division par zéro.

Il a suggéré que si nous prenons un citron et commençons à le diviser en parties, nous arriverons tôt ou tard au fait que les tranches seront très petites. Dans notre imagination, nous pouvons arriver au point où les tranches deviennent égales à zéro. Donc, la question est, si vous divisez un citron non pas en 2, 4 ou 10 parties, mais en un nombre infini de parties, quelle sera la taille des tranches ? Vous obtiendrez un nombre infini de « tranches zéro ». Tout est assez simple, coupez le citron très finement, on obtient une flaque d'eau avec un nombre infini de parties - du jus de citron.

Posez-vous simplement une question :

Si la division par l’infini produit zéro, alors la division par zéro doit produire l’infini.

x/ ∞=0 signifie x/0=∞

Que se passe-t-il si vous divisez par zéro ?

Mais si vous reprenez les mathématiques, cela s'avère en quelque sorte illogique :

un*0=0 ? Et si b*0=0 ? Cela signifie : a*0=b*0

Et à partir de là : a=b

C'est-à-dire que n'importe quel nombre est égal à n'importe quel nombre. La première inexactitude de la division par zéro, passons à autre chose. En mathématiques, la division est considérée comme l’inverse de la multiplication. Cela signifie que si l'on divise 4 par 2, il faut trouver un nombre qui multiplié par 2 donne 4.

Divisez 4 par zéro - vous devez trouver un nombre qui, multiplié par zéro, donnera 4. C'est-à-dire x*0=4 ? Mais x*0=0 ! Encore pas de chance. Nous demandons donc : « Combien de zéros faut-il prendre pour faire 4 ? » Infini? Un nombre infini de zéros totalisera toujours zéro.

Et diviser 0 par 0 donne généralement une incertitude, car 0*x=0, où x est fondamentalement n'importe quoi. Autrement dit, il existe d'innombrables solutions. Alors que va-t-il se passer à la fin ?

Une explication simple de la vie

Voici un problème de physique et de la vie réelle. Disons que nous voulons calculer combien de temps il nous faudra pour parcourir 10 kilomètres. Cela signifie Vitesse * temps = distance (S=Vt). Pour connaître le temps, divisez la distance par la vitesse (t=S/V). Que se passe-t-il si notre vitesse est 0 ? t=10/0. Il y aura l'infini !

Nous restons immobiles, la vitesse est nulle, et à cette vitesse nous atteindrons toujours la barre des 10 km. Le temps sera donc... t=∞. Nous avons donc l'infini !

Et dans cet exemple, diviser par zéro est possible, l'expérience de vie le permet. C'est dommage que les professeurs de l'école ne puissent pas expliquer de telles choses aussi simplement.

Une autre explication

Définissons ce qu'est la division ? Par exemple, 8/4 signifie la question « combien de quatre peuvent contenir un huit ? » Réponse : « deux quatre », c'est-à-dire mathématiquement 8/4 = 2.

Et si vous vous posiez la question 5/0= ? Combien de zéros peut contenir un 5 ? Oui, autant que tu veux. Quantité infinie.

Mais si au lieu de nombres abstraits nous prenons des choses matérielles, par exemple une pomme. 6/3 - "si vous mettez 6 pommes 3 dans des cartons, alors combien de cartons faut-il ?" Réponse : « 2 boîtes ». Passons au 4/0 - "si vous mettez 4 pommes, zéro (!) morceaux dans des cartons, alors combien..." Il s'avère que les cartons ne sont pas nécessaires, nous ne mettons rien nulle part !

Une explication très simple

10/2 =5 10/4 =2,5 10/8 =1,25….Plus le nombre au dénominateur est grand, plus le résultat est petit

10/2 =5 10/1 =10 10/1,5 =20….Plus le nombre au dénominateur est petit, plus le résultat est grand, mais que se passe-t-il si vous prenez un très petit nombre ? Par exemple, 0,0000001 est égal à 1,00 000 000. Et si nous allions plus loin dans notre réflexion et réduisions le dénominateur à zéro ? En conséquence, nous obtenons quelque chose de si énorme qu’on l’appellera « l’infini ».

Alors, est-il possible de diviser par zéro ?

Tout dépend de la raison pour laquelle vous en avez besoin et des règles dans lesquelles vous avez décidé de vous « séparer ». S’il s’agit d’algèbre, alors tout est simplement « vous ne pouvez pas diviser par zéro » car « l’infini » n’existe pas (ce n’est en fait pas du tout un nombre), et on ne sait pas ce qui devrait se passer à la fin.

Est-il possible de diviser par zéro en mathématiques supérieures - oui s'il vous plaît. Après tout, zéro peut être représenté par le nombre zéro (un nombre signifie un nombre avec la valeur « 0 », c'est-à-dire rien du tout), ou peut-être par un infinitésimal (c'est-à-dire tend vers zéro, presque rien, mais quand même - pas rien). Alors rien ne vous empêche de vous diviser sereinement en « infinitésimaux ».

L'illogisme et le caractère abstrait des opérations avec zéro ne sont pas autorisés dans le cadre étroit de l'algèbre, plus précisément, il s'agit d'une opération indéfinie ; Cela nécessite un appareil plus sérieux - des mathématiques supérieures. Donc, d'une certaine manière, vous ne pouvez pas diviser par zéro, mais si vous le voulez vraiment, vous pouvez diviser par zéro... Mais vous devez être prêt à comprendre des choses comme la fonction delta de Dirac et d'autres choses difficiles à comprendre. des choses. Partagez pour votre santé.

Histoire et philosophie du zéro

Posez-vous simplement une question :

Si la division par l’infini produit zéro, alors la division par zéro doit produire l’infini.

x/ ∞=0 signifie x/0=∞

Que se passe-t-il si vous divisez par zéro ?

Mais si vous reprenez les mathématiques, cela s'avère en quelque sorte illogique :

un*0=0 ? Et si b*0=0 ? Cela signifie : a*0=b*0

Et à partir de là : a=b

Une explication simple de la vie

Nous restons immobiles, la vitesse est nulle, et à cette vitesse nous atteindrons toujours la barre des 10 km. Le temps sera donc... t=∞. Nous avons donc l'infini !

Et dans cet exemple, diviser par zéro est possible, l'expérience de vie le permet. C'est dommage que les professeurs de l'école ne puissent pas expliquer de telles choses aussi simplement.

Une autre explication

Définissons ce qu'est la division ? Par exemple, 8/4 signifie la question « combien de quatre peuvent contenir un huit ? » Réponse : « deux quatre », c'est-à-dire mathématiquement 8/4 = 2.

Et si vous vous posiez la question 5/0= ? Combien de zéros peut contenir un 5 ? Oui, autant que tu veux. Quantité infinie.

Une explication très simple

10/2 =5 10/4 =2,5 10/8 =1,25….Plus le nombre au dénominateur est grand, plus le résultat est petit

Alors, est-il possible de diviser par zéro ?

Zéro en lui-même est un nombre très intéressant. En soi, cela signifie le vide, le manque de sens, et à côté d'un autre nombre, il multiplie par 10 sa signification. Tous les nombres à la puissance zéro donnent toujours 1. Ce signe était utilisé dans la civilisation maya et désignait également le concept de « début, cause ». Même le calendrier commençait par le jour zéro. Ce chiffre est également associé à une interdiction stricte.

Depuis le début années scolaires Nous avons tous clairement appris la règle « on ne peut pas diviser par zéro ». Mais si dans l'enfance vous prenez beaucoup de choses avec foi et que les paroles d'un adulte suscitent rarement des doutes, alors avec le temps, vous voulez parfois encore comprendre les raisons, comprendre pourquoi certaines règles ont été établies.

Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ? J'aimerais obtenir une explication logique et claire de cette question. En première année, les enseignants ne pouvaient pas faire cela, car en mathématiques, les règles s'expliquent à l'aide d'équations, et à cet âge-là, nous n'avions aucune idée de ce que c'était. Et maintenant, il est temps de comprendre et d’obtenir une explication logique et claire de la raison pour laquelle vous ne pouvez pas diviser par zéro.

Le fait est qu'en mathématiques, seules deux des quatre opérations de base (+, -, x, /) avec les nombres sont reconnues comme indépendantes : la multiplication et l'addition. Les opérations restantes sont considérées comme des produits dérivés. Regardons un exemple simple.

Dites-moi, combien obtenez-vous si vous soustrayez 18 de 20 ? Naturellement, la réponse surgit immédiatement dans notre tête : ce sera 2. Comment en sommes-nous arrivés à ce résultat ? Cette question semblera étrange à certains - après tout, tout est clair que le résultat sera 2, quelqu'un expliquera qu'il a pris 18 sur 20 kopecks et a obtenu deux kopecks. Logiquement, toutes ces réponses ne font aucun doute, mais d'un point de vue mathématique, ce problème devrait être résolu différemment. Rappelons encore une fois que les principales opérations en mathématiques sont la multiplication et l'addition, et donc dans notre cas la réponse réside dans la résolution de l'équation suivante : x + 18 = 20. D'où il résulte que x = 20 - 18, x = 2 . Il semblerait, pourquoi tout décrire avec autant de détails ? Après tout, tout est si simple. Cependant, sans cela, il est difficile d’expliquer pourquoi on ne peut pas diviser par zéro.

Voyons maintenant ce qui se passe si nous voulons diviser 18 par zéro. Créons à nouveau l'équation : 18 : 0 = x. Puisque l'opération de division est une dérivée de la procédure de multiplication, en transformant notre équation, nous obtenons x * 0 = 18. C'est là que commence l'impasse. Tout nombre à la place de X multiplié par zéro donnera 0 et nous ne pourrons pas obtenir 18. Il devient maintenant extrêmement clair pourquoi vous ne pouvez pas diviser par zéro. Zéro lui-même peut être divisé par n'importe quel nombre, mais vice versa - hélas, c'est impossible.

Que se passe-t-il si vous divisez zéro par lui-même ? Cela peut s'écrire comme suit : 0 : 0 = x, ou x * 0 = 0. Cette équation a un nombre infini de solutions. Le résultat final est donc l’infini. Par conséquent, l’opération dans ce cas n’a pas non plus de sens.

La division par 0 est à l’origine de nombreuses blagues mathématiques imaginaires qui peuvent être utilisées pour intriguer toute personne ignorante si elle le souhaite. Par exemple, considérons l'équation : 4*x - 20 = 7*x - 35. Prenons 4 entre parenthèses à gauche et 7 à droite. Nous obtenons : 4*(x - 5) = 7*(x. - 5). Multiplions maintenant les côtés gauche et droit de l'équation par la fraction 1 / (x - 5). L'équation prendra la forme suivante : 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). Réduisons les fractions de (x - 5) et il s'avère que 4 = 7. De là, nous pouvons conclure que 2*2 = 7 ! Bien sûr, le problème ici est qu'il est égal à 5 et qu'il était impossible d'annuler des fractions, car cela conduisait à une division par zéro. Par conséquent, lors de la réduction de fractions, vous devez toujours vérifier qu'un zéro ne se retrouve pas accidentellement au dénominateur, sinon le résultat sera complètement imprévisible.

Division par zéro en mathématiques - division dans laquelle le diviseur égal à zéro. Une telle division peut s'écrire formellement ⁄ 0, où est le dividende.

En arithmétique ordinaire (avec des nombres réels), cette expression n'a pas de sens, puisque :

pour ≠ 0, il n'y a pas de nombre qui, multiplié par 0, donne, donc aucun nombre ne peut être pris comme quotient ⁄ 0 ;
à = 0, la division par zéro est également indéfinie, puisque tout nombre multiplié par 0 donne 0 et peut être considéré comme le quotient 0 ⁄ 0.

Historiquement, l'une des premières références à l'impossibilité mathématique d'attribuer la valeur ⁄ 0 est contenue dans la critique du calcul infinitésimal par George Berkeley.

Erreurs logiques

Puisque lorsque nous multiplions un nombre par zéro, nous obtenons toujours zéro, lorsque nous divisons les deux parties de l'expression × 0 = × 0, ce qui est vrai quelle que soit la valeur de et, par 0, nous obtenons l'expression =, qui est incorrect dans le cas de variables spécifiées arbitrairement. Puisque zéro peut être spécifié non pas explicitement, mais sous la forme d'une expression mathématique assez complexe, par exemple sous la forme de la différence de deux valeurs réduites l'une à l'autre par des transformations algébriques, une telle division peut être une erreur plutôt peu évidente. L'introduction imperceptible d'une telle division dans le processus de preuve afin de montrer l'identité de quantités manifestement différentes, prouvant ainsi toute affirmation absurde, est l'une des variétés du sophisme mathématique.

En informatique

En programmation, selon le langage de programmation, le type de données et la valeur du dividende, tenter de diviser par zéro peut avoir des conséquences différentes. Les conséquences de la division par zéro en arithmétique entière et réelle sont fondamentalement différentes :

Tentative entier la division par zéro est toujours une erreur critique qui rend impossible l'exécution ultérieure du programme. Soit il lève une exception (que le programme peut gérer lui-même, évitant ainsi un crash), soit il provoque l'arrêt immédiat du programme, affichant un message d'erreur non corrigible et éventuellement le contenu de la pile d'appels. Dans certains langages de programmation, tels que Go, la division entière par une constante nulle est considérée comme une erreur de syntaxe et provoque une compilation anormale du programme.
DANS réel les conséquences arithmétiques peuvent être différentes selon les langues :

lancer une exception ou arrêter le programme, comme avec une division entière ;
obtention d'une valeur non numérique spéciale à la suite d'une opération. Dans ce cas, les calculs ne sont pas interrompus et leur résultat peut ensuite être interprété par le programme lui-même ou par l'utilisateur comme une valeur significative ou comme la preuve de calculs incorrects. Un principe largement utilisé est que lors d'une division comme ⁄ 0, où ≠ 0 est un nombre à virgule flottante, le résultat est égal à l'infini positif ou négatif (selon le signe du dividende) - ou, et lorsque = 0 le résultat est un valeur spéciale NaN (abréviation de l'anglais « not a number »). Cette approche est adoptée dans la norme IEEE 754, qui est soutenue par de nombreux langues modernes la programmation.

Une division accidentelle par zéro dans un programme informatique peut parfois provoquer des dysfonctionnements coûteux ou dangereux dans le matériel contrôlé par le programme. Par exemple, le 21 septembre 1997, à la suite d'une division par zéro dans le système de contrôle informatisé du croiseur de la marine américaine USS Yorktown (CG-48), tous les équipements électroniques du système se sont éteints, provoquant la mise hors tension du système de propulsion du navire. cesser de fonctionner.

voir également

Remarques

Fonction = 1 ⁄ . Lorsqu'elle tend vers zéro à partir de la droite, elle tend vers l'infini ; quand tend vers zéro à partir de la gauche, tend vers moins l'infini

Si vous divisez un nombre par zéro sur une calculatrice ordinaire, elle vous donnera la lettre E ou le mot Erreur, c'est-à-dire « erreur ».

Dans un cas similaire, la calculatrice de l'ordinateur écrit (sous Windows XP) : « La division par zéro est interdite. »

Tout est conforme à la règle connue de l'école selon laquelle on ne peut pas diviser par zéro.

Voyons pourquoi.

La division est l'opération mathématique inverse de la multiplication. La division est déterminée par multiplication.

Diviser un nombre un(divisible, par exemple 8) par nombre b(diviseur, par exemple le nombre 2) - signifie trouver un tel nombre X(quotient), lorsqu'il est multiplié par un diviseur b il s'avère que le dividende un(4 2 = 8), soit un diviser par b signifie résoudre l’équation x · b = a.

L'équation a : b = x est équivalente à l'équation x · b = a.

On remplace la division par la multiplication : au lieu de 8 : 2 = x on écrit x · 2 = 8.

8 : 2 = 4 équivaut à 4 2 = 8

18 : 3 = 6 équivaut à 6 3 = 18

20 : 2 = 10 équivaut à 10 2 = 20

Le résultat de la division peut toujours être vérifié par multiplication. Le résultat de la multiplication d'un diviseur par un quotient doit être le dividende.

Essayons de diviser par zéro de la même manière.

Par exemple, 6 : 0 = ... Nous devons trouver un nombre qui, multiplié par 0, donnera 6. Mais nous savons que multiplié par zéro, nous obtenons toujours zéro. Il n’existe pas de nombre qui, multiplié par zéro, donne autre chose que zéro.

Lorsqu'ils disent que la division par zéro est impossible ou interdite, ils veulent dire qu'il n'existe aucun nombre correspondant au résultat d'une telle division (la division par zéro est possible, mais la division ne l'est pas :)).

Pourquoi dit-on à l’école qu’on ne peut pas diviser par zéro ?

Donc dans définition l'opération de division de a par b souligne immédiatement que b ≠ 0.

Si tout ce qui est écrit ci-dessus vous semble trop compliqué, alors essayez : Diviser 8 par 2, c'est découvrir combien de deux il faut prendre pour obtenir 8 (réponse : 4). Diviser 18 par 3, c'est découvrir combien de trois il faut prendre pour obtenir 18 (réponse : 6).

Diviser 6 par zéro signifie découvrir combien de zéros vous devez prendre pour obtenir 6. Peu importe le nombre de zéros que vous prenez, vous obtiendrez toujours un zéro, mais vous n'obtiendrez jamais 6, c'est-à-dire que la division par zéro n'est pas définie.

Un résultat intéressant est obtenu si vous essayez de diviser un nombre par zéro sur une calculatrice Android. L'écran affichera ∞ (infini) (ou - ∞ en cas de division par un nombre négatif). Ce résultat est incorrect car le nombre ∞ n'existe pas. Apparemment, les programmeurs ont confondu des opérations complètement différentes : diviser des nombres et trouver la limite d'une séquence numérique n/x, où x → 0. Lors de la division de zéro par zéro, NaN (Not a Number) sera écrit.

« On ne peut pas diviser par zéro ! » - La plupart des écoliers apprennent cette règle par cœur, sans se poser de questions. Tous les enfants savent ce que signifie « vous ne pouvez pas » et que se passera-t-il si vous leur demandez en réponse : « Pourquoi ? Mais en fait, il est très intéressant et important de savoir pourquoi cela n’est pas possible.

Le fait est que les quatre opérations arithmétiques – addition, soustraction, multiplication et division – sont en réalité inégales. Les mathématiciens n’en reconnaissent que deux comme valables : l’addition et la multiplication. Ces opérations et leurs propriétés sont incluses dans la définition même de la notion de nombre. Toutes les autres actions sont construites d’une manière ou d’une autre à partir de ces deux-là.

Prenons par exemple la soustraction. Que signifie 5 - 3 ? L'élève répondra simplement : il faut prendre cinq objets, en emporter (enlever) trois et voir combien il en reste. Mais les mathématiciens envisagent ce problème d’une manière complètement différente. Il n’y a pas de soustraction, seulement une addition. Donc l'entrée 5 - 3 désigne un nombre qui, lorsqu'il est ajouté à un nombre 3 donnera un numéro 5 . C'est 5 - 3 est simplement une version abrégée de l'équation : x + 3 = 5. Il n'y a pas de soustraction dans cette équation.

Division par zéro

Il n'y a qu'une tâche : trouver un numéro approprié.

Il en va de même avec la multiplication et la division. Enregistrer 8: 4 peut être compris comme le résultat de la division de huit objets en quatre piles égales. Mais en réalité, ce n’est qu’une forme abrégée de l’équation 4 x = 8.

C'est là que l'on comprend pourquoi il est impossible (ou plutôt impossible) de diviser par zéro. Enregistrer 5: 0 est une abréviation de 0 x = 5. Autrement dit, cette tâche consiste à trouver un nombre qui, multiplié par 0 va donner 5 . Mais nous savons que multiplié par 0 ça marche toujours 0 . Il s’agit d’une propriété inhérente au zéro, à proprement parler, qui fait partie de sa définition.

Un nombre tel que, multiplié par 0 donnera autre chose que zéro, cela n'existe tout simplement pas. Autrement dit, notre problème n'a pas de solution. (Oui, cela arrive ; tous les problèmes n’ont pas de solution.) Ce qui signifie que les enregistrements 5: 0 ne correspond à aucun nombre spécifique, et cela ne veut tout simplement rien dire et n'a donc aucune signification. L’absurdité de cette entrée est brièvement exprimée en disant qu’on ne peut pas diviser par zéro.

Les lecteurs les plus attentifs de cet endroit se demanderont certainement : est-il possible de diviser zéro par zéro ?

En effet, l'équation 0 x = 0 résolu avec succès. Par exemple, vous pouvez prendre x = 0, et on obtient alors 0 0 = 0. Il s'avère 0: 0=0 ? Mais ne nous précipitons pas. Essayons de prendre x = 1. On a 0 1 = 0. Droite? Moyens, 0: 0 = 1 ? Mais vous pouvez prendre n'importe quel numéro et obtenir 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.

Mais si un nombre convient, nous n’avons aucune raison d’en choisir un. Autrement dit, nous ne pouvons pas dire à quel numéro correspond l'entrée. 0: 0 . Et si tel est le cas, nous sommes obligés d’admettre que cette entrée n’a également aucun sens. Il s’avère que même zéro ne peut pas être divisé par zéro. (DANS analyse mathematique Il y a des cas où, grâce à des conditions supplémentaires du problème, on peut privilégier l'une des solutions possibles à l'équation 0 x = 0; Dans de tels cas, les mathématiciens parlent de « déploiement de l’incertitude », mais de tels cas ne se produisent pas en arithmétique.)

C'est la particularité de l'opération de division. Plus précisément, l'opération de multiplication et le nombre qui lui est associé ont zéro.

Eh bien, les plus méticuleux, après avoir lu jusqu'ici, pourraient se demander : pourquoi se fait-il qu'on ne puisse pas diviser par zéro, mais qu'on puisse soustraire zéro ? Dans un sens, c’est ici que commencent les vraies mathématiques. Vous ne pouvez y répondre qu'en vous familiarisant avec les définitions mathématiques formelles des ensembles numériques et des opérations sur ceux-ci. Ce n'est pas si difficile, mais pour une raison quelconque, cela n'est pas enseigné à l'école. Mais dans les cours de mathématiques à l’université, c’est ce que l’on vous apprendra en premier.

La fonction de division n'est pas définie pour une plage où le diviseur est zéro. Vous pouvez diviser, mais le résultat n'est pas certain

Vous ne pouvez pas diviser par zéro. Mathématiques de 2e année du secondaire.

Si ma mémoire est bonne, alors zéro peut être représenté comme une valeur infinitésimale, il y aura donc l'infini. Et l'école « zéro - rien » n'est qu'une simplification ; il y en a tellement en mathématiques scolaires). Mais sans eux, c’est impossible, tout arrivera en temps voulu.

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Division par zéro

Quotient de division par zéro Il n’existe pas de nombre autre que zéro.

Le raisonnement ici est le suivant : puisque dans ce cas aucun nombre ne peut satisfaire à la définition d'un quotient.

Écrivons, par exemple,

Quel que soit le nombre que vous essayez (par exemple 2, 3, 7), il ne convient pas car :

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Que se passe-t-il si vous divisez par 0 ?

etc., mais vous devez obtenir 2,3,7 dans le produit.

On peut dire que le problème de la division d’un nombre non nul par zéro n’a pas de solution. Cependant, un nombre autre que zéro peut être divisé par un nombre aussi proche de zéro que souhaité, et plus le diviseur est proche de zéro, plus le quotient est grand. Donc si on divise 7 par

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

on obtient alors les quotients 70, 700, 7000, 70 000, etc., qui augmentent sans limite.

Par conséquent, ils disent souvent que le quotient de 7 divisé par 0 est « infiniment grand » ou « égal à l’infini », et écrivent

\[ 7 : 0 = \infin \]

Le sens de cette expression est que si le diviseur se rapproche de zéro et que le dividende reste égal à 7 (ou s'approche de 7), alors le quotient augmente sans limite.