Qu’est-ce que l’analyse mathématique ? Cours courts d'analyse mathématique Analyse mathématique des nombres

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ANALYSE MATHEMATIQUE, une branche des mathématiques qui fournit des méthodes pour l'étude quantitative de divers processus de changement ; traite de l'étude du taux de changement (calcul différentiel) et de la détermination des longueurs de courbes, des aires et des volumes de figures délimitées par des contours et des surfaces courbes (calcul intégral). Il est typique des problèmes d'analyse mathématique que leur solution soit associée à la notion de limite.

Le début de l'analyse mathématique a été posé en 1665 par I. Newton et (vers 1675) indépendamment par G. Leibniz, bien que d'importants travaux préparatoires aient été réalisés par I. Kepler (1571-1630), F. Cavalieri (1598-1647), P. Fermat (1601-1665), J. Wallis (1616-1703) et I. Barrow (1630-1677).

Pour rendre la présentation plus vivante, nous recourrons au langage graphique. Par conséquent, il peut être utile pour le lecteur de consulter l’article GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE avant de commencer à lire cet article.

CALCULS DIFFÉRENTIELS

Tangentes.

En figue. 1 montre un fragment de la courbe oui = 2X – X 2, enfermé entre X= –1 et X= 3. Des segments suffisamment petits de cette courbe semblent droits. Autrement dit, si R. est un point arbitraire de cette courbe, alors il y a une certaine droite passant par ce point et qui est une approximation de la courbe dans un petit voisinage du point R., et plus le quartier est petit, meilleure est l'approximation. Une telle ligne est appelée tangente à la courbe au point R.. La tâche principale du calcul différentiel est de construire une méthode générale permettant de trouver la direction d'une tangente en tout point d'une courbe où il existe une tangente. Il n'est pas difficile d'imaginer une courbe avec une cassure nette (Fig. 2). Si R. est le sommet d'une telle cassure, alors nous pouvons construire une ligne droite approximative P.T. 1 – à droite du point R. et une autre ligne droite approximative RT 2 – à gauche du point R.. Mais il n’existe pas une seule ligne droite passant par un point R., qui s'approchait également bien de la courbe au voisinage du point P.à droite et à gauche, donc la tangente au point P. n'existe pas.

En figue. 1 tangente DEPUIS dessiné à travers l'origine À PROPOS= (0,0). La pente de cette droite est de 2, c'est-à-dire lorsque l'abscisse change de 1, l'ordonnée augmente de 2. Si X Et oui– coordonnées d'un point arbitraire sur DEPUIS, puis en s'éloignant de À PROPOSà distance X unités vers la droite, on s'éloigne de À PROPOS le 2 oui unités vers le haut. Ainsi, oui/X= 2, ou oui = 2X. C'est l'équation tangente DEPUISà la courbe oui = 2X – X 2 au point À PROPOS.

Il faut maintenant expliquer pourquoi, parmi l'ensemble des droites passant par le point À PROPOS, la droite est choisie DEPUIS. En quoi une droite de pente 2 diffère-t-elle des autres droites ? Il existe une réponse simple, et il est difficile de résister à la tentation de la donner par analogie avec une tangente à un cercle : la tangente DEPUIS n'a qu'un seul point commun avec la courbe, tandis que toute autre ligne non verticale passant par ce point À PROPOS, coupe la courbe deux fois. Cela peut être vérifié comme suit.

Depuis l'expression oui = 2X – X 2 peut être obtenu par soustraction X 2 de oui = 2X(équations de droite DEPUIS), puis les valeurs oui il y a moins de connaissances pour le graphique oui pour une ligne droite en tous points sauf le point X= 0. Par conséquent, le graphique est partout sauf au point À PROPOS, situé en dessous DEPUIS, et cette droite et le graphique n’ont qu’un seul point commun. De plus, si oui = MX- équation d'une autre droite passant par un point À PROPOS, alors il y aura certainement deux points d'intersection. Vraiment, MX = 2X – X 2 non seulement quand X= 0, mais aussi à X = 2 – m. Et seulement quand m= 2 les deux points d'intersection coïncident. En figue. 3 montre le cas où m est inférieur à 2, donc à droite de À PROPOS un deuxième point d'intersection apparaît.

Quoi DEPUIS– la seule droite non verticale passant par un point À PROPOS et n'ayant qu'un seul point commun avec le graphe, et non sa propriété la plus importante. En effet, si l’on se tourne vers d’autres graphes, il deviendra vite clair que la propriété tangente que nous avons notée n’est pas satisfaite dans le cas général. Par exemple, à partir de la Fig. 4 il est clair qu'à proximité du point (1,1) le graphique de la courbe oui = X 3 est bien approximé par une droite RT qui a pourtant plus d’un point commun avec lui. Cependant, nous aimerions considérer RT tangent à ce graphique au point R.. Il est donc nécessaire de trouver une autre façon de mettre en évidence la tangente que celle qui nous a si bien servi dans le premier exemple.

Supposons qu'à travers le point À PROPOS et un point arbitraire Q = (h,k) sur le graphique de courbe oui = 2X – X 2 (Fig. 5), une ligne droite (appelée sécante) est tracée. Substitution des valeurs dans l'équation de la courbe X = h Et oui = k, on comprend ça k = 2h – h 2, donc le coefficient angulaire de la sécante est égal à

A tout petit h signification m proche de 2. De plus, en choisissant h assez proche de 0, nous pouvons le faire m arbitrairement proche de 2. On peut dire que m"tend vers la limite" égal à 2 lorsque h tend vers zéro, ou quelle que soit la limite m est égal à 2 à h tendant vers zéro. Symboliquement, cela s'écrit ainsi :

Alors la tangente au graphique au point À PROPOS est défini comme une droite passant par un point À PROPOS, avec une pente égale à cette limite. Cette définition d'une tangente est applicable dans le cas général.

Montrons les avantages de cette approche avec un autre exemple : trouvons la pente de la tangente au graphique de la courbe oui = 2X – X 2 à tout moment P. = (X,oui), sans se limiter au cas le plus simple où P. = (0,0).

Laisser Q = (X + h, oui + k) – le deuxième point du graphique, situé à distance hà la droite de R.(Fig.6). Il faut trouver la pente k/h sécante PQ. Point Q est à distance

au dessus de l'axe X.

En ouvrant les parenthèses, on trouve :

Soustraire de cette équation oui = 2X – X 2, trouvez la distance verticale du point R. jusqu'au point Q:

Donc la pente m sécante PQéquivaut à

Maintenant que h tend vers zéro, m tend vers 2 – 2 X; Nous prendrons la dernière valeur comme coefficient angulaire de la tangente P.T.. (Le même résultat se produira si h prend des valeurs négatives, ce qui correspond à la sélection d'un point Qà la gauche de P..) Notez que lorsque X= 0 le résultat obtenu coïncide avec le précédent.

Expression 2 – 2 X appelé la dérivée de 2 X – X 2. Autrefois, la dérivée était aussi appelée « rapport différentiel » et « coefficient différentiel ». Si par expression 2 X – X 2 désigner F(X), c'est à dire.

alors la dérivée peut être notée

Afin de connaître la pente de la tangente au graphique de la fonction oui = F(X) à un moment donné, il faut substituer Fў ( X) valeur correspondant à ce point X. Ainsi, la pente Fў (0) = 2 à X = 0, Fў (0) = 0 à X= 1 et Fў (2) = –2 à X = 2.

La dérivée est également notée àў , mourir/dx, D x y Et Du.

Le fait que la courbe oui = 2X – X 2 près d'un point donné est pratiquement impossible à distinguer de sa tangente en ce point, permet de parler du coefficient angulaire de la tangente comme du « coefficient angulaire de la courbe » au point de tangence. Ainsi, on peut dire que la pente de la courbe que l'on considère a une pente de 2 au point (0,0). On peut aussi dire que lorsque X= 0 taux de changement oui relativement X est égal à 2. Au point (2,0) la pente de la tangente (et de la courbe) est –2. (Le signe moins signifie qu'à mesure que nous augmentons X variable oui diminue.) Au point (1,1) la tangente est horizontale. On dit que c'est une courbe oui = 2X – X 2 a une valeur stationnaire à ce stade.

Des hauts et des bas.

Nous venons de montrer que la courbe F(X) = 2X – X 2 est stationnaire au point (1,1). Parce que Fў ( X) = 2 – 2X = 2(1 – X), il est clair que lorsque X, Moins que 1, Fў ( X) est positif, et donc oui augmente; à X, grand 1, Fў ( X) est négatif, et donc oui diminue. Ainsi, au voisinage du point (1,1), indiqué sur la Fig. 6 lettres M., signification à grandit jusqu'à un point M., stationnaire au point M. et diminue après le point M.. Ce point est appelé « maximum » car la valeur àà ce stade dépasse n'importe laquelle de ses valeurs dans un quartier suffisamment petit. De même, le « minimum » est défini comme le point au voisinage duquel toutes les valeurs oui dépasser la valeur àà ce stade précis. Il peut aussi arriver que bien que la dérivée de F(X) en un certain point et disparaît ; son signe au voisinage de ce point ne change pas. Un tel point, qui n’est ni un maximum ni un minimum, est appelé point d’inflexion.

A titre d'exemple, trouvons le point stationnaire de la courbe

La dérivée de cette fonction est égale à

et va à zéro à X = 0, X= 1 et X= –1 ; ceux. aux points (0,0), (1, –2/15) et (–1, 2/15). Si X un peu moins de –1, alors Fў ( X) est négatif ; Si X un peu plus de –1, alors Fў ( X) est positif. Par conséquent, le point (–1, 2/15) est le maximum. De même, on peut montrer que le point (1, –2/15) est un minimum. Mais la dérivée Fў ( X) est négatif à la fois avant et après le point (0,0). Par conséquent, (0,0) est le point d’inflexion.

L'étude de la forme de la courbe, ainsi que du fait que la courbe coupe l'axe Xà F(X) = 0 (c'est-à-dire quand X= 0 ou ) nous permettent de présenter son graphique approximativement comme le montre la Fig. 7.

De manière générale, si l'on exclut les cas inhabituels (courbes contenant des segments droits ou un nombre infini de virages), il existe quatre options pour la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage du point tangent R.. (Cm. riz. 8, sur laquelle la tangente a une pente positive.)

1) Des deux côtés du point R. la courbe se situe au-dessus de la tangente (Fig. 8, UN). Dans ce cas, on dit que la courbe au point R. convexe vers le bas ou concave.

2) Des deux côtés du point R. la courbe est située en dessous de la tangente (Fig. 8, b). Dans ce cas, la courbe est dite convexe vers le haut ou simplement convexe.

3) et 4) La courbe est située au dessus de la tangente d'un côté du point R. et en dessous - de l'autre. Dans ce cas R.- point d'inflexion.

Comparer les valeurs Fў ( X) des deux côtés de R. avec sa valeur au point R., on peut déterminer lequel de ces quatre cas on doit traiter dans un problème particulier.

Applications.

Tout ce qui précède a des applications importantes dans divers domaines. Par exemple, si un corps est projeté verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 200 pieds par seconde, alors la hauteur s, sur lequel ils seront localisés à travers t les secondes par rapport au point de départ seront

En procédant de la même manière que dans les exemples que nous avons considérés, on trouve

cette quantité tend vers zéro en c. Dérivé Fў ( X) est positif jusqu'à la valeur c et négatif au-delà de ce temps. Ainsi, s augmente jusqu'à , puis devient stationnaire, puis diminue. Il s’agit d’une description générale du mouvement d’un corps projeté vers le haut. Grâce à cela, nous savons quand le corps atteint son point culminant. Ensuite, en remplaçant t= 25/4 V F(t), nous obtenons 625 pieds, la hauteur de levage maximale. Dans ce problème Fў ( t) a une signification physique. Cette dérivée montre la vitesse à laquelle le corps se déplace à un instant donné t.

Considérons maintenant une application d'un autre type (Fig. 9). A partir d'une feuille de carton d'une superficie de 75 cm2, il faut réaliser une boîte à fond carré. Quelles doivent être les dimensions de cette boîte pour qu'elle ait un volume maximum ? Si X– côté de la base de la boîte et h est sa hauteur, alors le volume de la boîte est V = X 2 h, et la superficie est de 75 = X 2 + 4xh. En transformant l'équation, on obtient :

Dérivé de V s'avère être égal

et va à zéro à X= 5. Alors

Et V= 125/2. Graphique d'une fonction V = (75X – X 3)/4 est illustré à la Fig. 10 (valeurs négatives X omis car n'ayant aucune signification physique dans ce problème).

Dérivés.

Une tâche importante du calcul différentiel est la création de méthodes qui vous permettent de trouver rapidement et facilement des dérivées. Par exemple, il est facile de calculer que

(La dérivée d’une constante est bien entendu nulle.) Il n’est pas difficile d’en déduire une règle générale :

Où n– n’importe quel nombre entier ou fraction. Par exemple,

(Cet exemple montre à quel point les exposants fractionnaires sont utiles.)

Voici quelques-unes des formules les plus importantes :

Il existe également les règles suivantes : 1) si chacune des deux fonctions g(X) Et F(X) a des dérivées, alors la dérivée de leur somme est égale à la somme des dérivées de ces fonctions, et la dérivée de la différence est égale à la différence des dérivées, c'est-à-dire

2) la dérivée du produit de deux fonctions est calculée par la formule :

3) la dérivée du rapport de deux fonctions a la forme

4) la dérivée d'une fonction multipliée par une constante est égale à la constante multipliée par la dérivée de cette fonction, c'est-à-dire

Il arrive souvent que les valeurs d'une fonction doivent être calculées étape par étape. Par exemple, pour calculer le péché X 2, nous devons d'abord trouver toi = X 2, puis calculez le sinus du nombre toi. Nous trouvons la dérivée de ces fonctions complexes en utilisant ce qu'on appelle la « règle de la chaîne » :

Dans notre exemple F(toi) = péché toi, Fў ( toi) = cos toi, ainsi,

Ces règles et d'autres similaires vous permettent d'écrire immédiatement les dérivées de nombreuses fonctions.

approximations linéaires.

Le fait que, connaissant la dérivée, nous puissions dans de nombreux cas remplacer le graphique d'une fonction proche d'un certain point par sa tangente en ce point est d'une grande importance, car il est plus facile de travailler avec des lignes droites.

Cette idée trouve une application directe dans le calcul des valeurs approximatives des fonctions. Par exemple, il est assez difficile de calculer la valeur lorsque X= 1,033. Mais vous pouvez utiliser le fait que le nombre 1,033 est proche de 1 et que . Près X= 1 nous pouvons remplacer le graphique par une courbe tangente sans commettre d'erreurs graves. Le coefficient angulaire d'une telle tangente est égal à la valeur de la dérivée ( X 1/3)ў = (1/3) X–2/3 à x = 1, soit 1/3. Puisque le point (1,1) se trouve sur la courbe et que le coefficient angulaire de la tangente à la courbe en ce point est égal à 1/3, l'équation de la tangente a la forme

Sur cette ligne droite X = 1,033

Valeur reçue oui devrait être très proche de la vraie valeur oui; et, en effet, ce n'est que 0,00012 de plus que le vrai. En analyse mathématique, des méthodes ont été développées qui permettent d'augmenter la précision de ce type d'approximations linéaires. Ces méthodes garantissent la fiabilité de nos calculs approximatifs.

La procédure que nous venons de décrire suggère une notation utile. Laisser P.– point correspondant au graphe de fonction F variable X, et laissez la fonction F(X) est différentiable. Remplaçons le graphique de la courbe proche du point R. tangente à celui-ci tracée à ce stade. Si X changement en valeur h, alors l'ordonnée de la tangente changera du montant h H F ў ( X). Si h est très petit, alors cette dernière valeur constitue une bonne approximation du véritable changement d'ordonnée oui arts graphiques. Si à la place h nous écrirons un symbole dx(ce n'est pas un produit !), mais un changement d'ordonnée oui désignons mourir, alors on obtient mourir = F ў ( X)dx, ou mourir/dx = F ў ( X) (cm. riz. onze). Par conséquent, au lieu de Dy ou F ў ( X) le symbole est souvent utilisé pour désigner une dérivée mourir/dx. La commodité de cette notation dépend principalement de l'apparition explicite de la règle de chaîne (différenciation d'une fonction complexe) ; dans la nouvelle notation, cette formule ressemble à ceci :

où il est sous-entendu que à dépend de toi, UN toi dépend à son tour de X.

Ordre de grandeur mourir appelé différentiel à; en réalité, cela dépend deux variables, à savoir : de X et incréments dx. Lorsque l'incrément dx très petite taille mourir est proche de la variation de valeur correspondante oui. Mais supposons que l'incrément dx peu, pas besoin.

Dérivée d'une fonction oui = F(X) nous avons désigné F ў ( X) ou mourir/dx. Il est souvent possible de prendre la dérivée de la dérivée. Le résultat est appelé la dérivée seconde de F (X) et est noté F ўў ( X) ou d 2 oui/dx 2. Par exemple, si F(X) = X 3 – 3X 2, alors F ў ( X) = 3X 2 – 6X Et F ўў ( X) = 6X– 6. Une notation similaire est utilisée pour les dérivées d’ordre supérieur. Cependant, pour éviter un grand nombre de traits (égal à l'ordre de la dérivée), la dérivée quatrième (par exemple) peut s'écrire F (4) (X), et la dérivée n-ième ordre comme F (n) (X).

On peut montrer que la courbe en un point est convexe vers le bas si la dérivée seconde est positive, et convexe vers le haut si la dérivée seconde est négative.

Si une fonction a une dérivée seconde, alors le changement de valeur oui, correspondant à l'incrément dx variable X, peut être calculé approximativement à l'aide de la formule

Cette approximation est généralement meilleure que celle donnée par le différentiel Fў ( X)dx. Cela correspond à remplacer une partie de la courbe non pas par une droite, mais par une parabole.

Si la fonction F(X) il existe des dérivées d’ordres supérieurs, alors

Le terme restant a la forme

Où X- un nombre entre X Et X + dx. Le résultat ci-dessus est appelé formule de Taylor avec terme restant. Si F(X) a des dérivées de tous les ordres, alors généralement Rn® 0 à n ® Ґ .

CALCUL INTÉGRAL

Des carrés.

L'étude des zones de figures planes curvilignes révèle de nouveaux aspects de l'analyse mathématique. Les anciens Grecs ont essayé de résoudre des problèmes de ce genre, pour qui déterminer, par exemple, l'aire d'un cercle était l'une des tâches les plus difficiles. Archimède a obtenu un grand succès dans la résolution de ce problème, qui a également réussi à trouver l'aire d'un segment parabolique (Fig. 12). À l'aide d'un raisonnement très complexe, Archimède a prouvé que l'aire d'un segment parabolique est égale aux 2/3 de l'aire du rectangle circonscrit et, par conséquent, dans ce cas est égale à (2/3)(16) = 32/ 3. Comme nous le verrons plus loin, ce résultat peut être facilement obtenu par des méthodes d’analyse mathématique.

Les prédécesseurs de Newton et Leibniz, principalement Kepler et Cavalieri, ont résolu les problèmes de calcul des aires de figures curvilignes en utilisant une méthode que l'on peut difficilement qualifier de logiquement valable, mais qui s'est avérée extrêmement fructueuse. Lorsque Wallis, en 1655, combina les méthodes de Kepler et de Cavalieri avec celles de Descartes (géométrie analytique) et tira parti de l'algèbre émergente, la scène était pleinement préparée pour l'apparition de Newton.

Wallis a divisé la figure, dont l'aire devait être calculée, en bandes très étroites, chacune d'elles étant approximativement considérée comme un rectangle. Puis il additionna les aires des rectangles approximatifs et, dans les cas les plus simples, obtint la valeur vers laquelle tendait la somme des aires des rectangles lorsque le nombre de bandes tendait vers l'infini. En figue. La figure 13 montre des rectangles correspondant à une certaine division en bandes de la zone sous la courbe oui = X 2 .

Théorème principal.

La grande découverte de Newton et Leibniz a permis d'éliminer le processus laborieux d'aller à la limite de la somme des aires. Cela a été réalisé grâce à un nouveau regard sur la notion de territoire. Le fait est que nous devons imaginer l’aire sous la courbe comme générée par une ordonnée se déplaçant de gauche à droite et nous demander à quelle vitesse l’aire balayée par les ordonnées change. Nous aurons la clé pour répondre à cette question si l’on considère deux cas particuliers dans lesquels la zone est connue à l’avance.

Commençons par l'aire sous le graphique d'une fonction linéaire oui = 1 + X, puisque dans ce cas l'aire peut être calculée en utilisant la géométrie élémentaire.

Laisser UN(X) – partie du plan compris entre la droite oui = 1 + X et un segment QO(Fig.14). En conduisant QP zone droite UN(X) augmente. A quelle vitesse ? Il n'est pas difficile de répondre à cette question, puisque l'on sait que l'aire d'un trapèze est égale au produit de sa hauteur et à la moitié de la somme de ses bases. Ainsi,

Taux de changement de superficie UN(X) est déterminé par sa dérivée

On voit ça UNў ( X) coïncide avec l'ordonnée à points R.. Est-ce une coïncidence ? Essayons de vérifier la parabole représentée sur la Fig. 15. Zone UN (X) sous la parabole à = X 2 dans la plage de 0 à Xégal à UN(X) = (1 / 3)(X)(X 2) = X 3/3. Le taux de changement de cette zone est déterminé par l'expression

qui coïncide exactement avec l'ordonnée à point en mouvement R..

Si l’on suppose que cette règle s’applique dans le cas général tel que

est le taux de changement de l'aire sous le graphique de la fonction oui = F(X), cela peut alors être utilisé pour les calculs et d’autres domaines. En fait, le rapport UNў ( X) = F(X) exprime un théorème fondamental qui pourrait être formulé ainsi : la dérivée, ou taux de changement de surface en fonction de X, égal à la valeur de la fonction F (X) au point X.

Par exemple, pour trouver l'aire sous le graphique d'une fonction oui = X 3 de 0 à X(Fig. 16), mettons

Une réponse possible se lit comme suit :

puisque la dérivée de X 4/4 est vraiment égal X 3. En plus, UN(X) est égal à zéro à X= 0, comme il se doit si UN(X) est bien un domaine.

L'analyse mathématique prouve qu'il n'y a pas d'autre réponse que l'expression ci-dessus pour UN(X), n'existe pas. Montrons que cette affirmation est plausible en utilisant le raisonnement heuristique (non rigoureux) suivant. Supposons qu'il existe une deuxième solution DANS(X). Si UN(X) Et DANS(X) « démarrer » simultanément à partir de la valeur zéro à X= 0 et changent tout le temps au même rythme, alors leurs valeurs ne peuvent pas être X ne peut pas devenir différent. Il faut qu'ils coïncident partout ; il existe donc une solution unique.

Comment justifier la relation ? UNў ( X) = F(X) en général? On ne peut répondre à cette question qu'en étudiant le taux de changement de superficie en fonction de X en général. Laisser m– la plus petite valeur de la fonction F (X) dans la gamme de X avant ( X + h), UN M.– la plus grande valeur de cette fonction dans le même intervalle. Puis l’augmentation de superficie en passant de XÀ ( X + h) doit être enfermé entre les zones de deux rectangles (Fig. 17). Les bases des deux rectangles sont égales h. Le plus petit rectangle a une hauteur m et la superficie mh, plus grand, respectivement, M. Et Mh. Sur le graphique de la surface en fonction X(Fig. 18) il est clair que lorsque l'abscisse passe à h, la valeur ordonnée (c'est-à-dire la surface) augmente du montant entre mh Et Mh. La pente sécante sur ce graphique est comprise entre m Et M.. ce qu'il se passe quand h tend vers zéro ? Si le graphique d'une fonction oui = F(X) est continue (c'est-à-dire ne contient pas de discontinuités), alors M., Et m avoir tendance à F(X). Donc la pente UNў ( X) graphique de l'aire en fonction de Xéquivaut à F(X). C’est précisément la conclusion à laquelle il fallait parvenir.

Leibniz a proposé pour l'aire sous une courbe oui = F(X) de 0 à UN désignation

Dans une approche rigoureuse, cette intégrale dite définie devrait être définie comme la limite de certaines sommes à la manière de Wallis. Vu le résultat obtenu ci-dessus, il est clair que cette intégrale est calculée à condition que l'on puisse trouver une telle fonction UN(X), qui disparaît lorsque X= 0 et a une dérivée UNў ( X), égal à F (X). La recherche d’une telle fonction est généralement appelée intégration, bien qu’il serait plus approprié d’appeler cette opération anti-différenciation, ce qui signifie qu’elle est en quelque sorte l’inverse de la différenciation. Dans le cas d'un polynôme, l'intégration est simple. Par exemple, si

ce qui est facile à vérifier en différenciant UN(X).

Pour calculer la superficie UN 1 sous la courbe oui = 1 + X + X 2 /2, compris entre les ordonnées 0 et 1, on écrit simplement

et, en remplaçant X= 1, on obtient UN 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Carré UN(X) de 0 à 2 est égal à UN 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Comme on peut le voir sur la Fig. 19, l'aire comprise entre les ordonnées 1 et 2 est égale à UN 2 – UN 1 = 11/3. Il s'écrit généralement comme une intégrale définie

Tomes.

Un raisonnement similaire rend étonnamment facile le calcul des volumes des corps en rotation. Montrons-le avec l'exemple du calcul du volume d'une sphère, un autre problème classique que les Grecs de l'Antiquité, en utilisant les méthodes qui leur sont connues, parvenaient à résoudre avec beaucoup de difficulté.

Faisons pivoter une partie du plan contenu à l'intérieur d'un quart de cercle de rayon r, à un angle de 360° autour de l'axe X. En conséquence, nous obtenons un hémisphère (Fig. 20), dont nous désignons le volume V(X). Nous devons déterminer le taux auquel il augmente V(X) avec l'augmentation de X. Passer de XÀ X + h, il est facile de vérifier que l'incrément de volume est inférieur au volume p(r 2 – X 2)h cylindre circulaire avec rayon et hauteur h, et plus que du volume p[r 2 – (X + h) 2 ]h rayon et hauteur du cylindre h. Donc sur le graphique de la fonction V(X) le coefficient angulaire de la sécante est compris entre p(r 2 – X 2) et p[r 2 – (X + h) 2 ]. Quand h tend vers zéro, la pente tend vers

À X = r on a

pour le volume de l'hémisphère, et donc 4 p r 3/3 pour le volume de la balle entière.

Une méthode similaire permet de trouver les longueurs de courbes et les aires de surfaces courbes. Par exemple, si un(X) - longueur de l'arc RP En figue. 21, alors notre tâche est de calculer unў( X). Au niveau heuristique, nous utiliserons une technique qui permet de ne pas recourir au passage habituel à la limite, nécessaire à une preuve rigoureuse du résultat. Supposons que le taux de changement de la fonction UN(X) au point R. la même chose que si la courbe était remplacée par sa tangente P.T.à ce point P.. Mais d'après la fig. 21 est directement visible lors de la marche hà droite ou à gauche du point X le long de RT signification UN(X) change en

Par conséquent, le taux de changement de la fonction un(X) est

Pour trouver la fonction elle-même un(X), il suffit d'intégrer l'expression à droite de l'égalité. Il s’avère que l’intégration est assez difficile pour la plupart des fonctions. Par conséquent, le développement de méthodes de calcul intégral constitue une grande partie de l’analyse mathématique.

Antidérivés.

Toute fonction dont la dérivée est égale à la fonction donnée F(X), est appelée primitive (ou primitive) pour F(X). Par exemple, X 3/3 – primitive de la fonction X 2 depuis ( X 3 /3)ў = X 2. Bien sûr X 3/3 n'est pas la seule primitive de la fonction X 2 parce que X 3 /3 + C est aussi un dérivé de X 2 pour toute constante AVEC. Cependant, dans ce qui suit, nous convenons d’omettre ces constantes additives. En général

Où n est un entier positif, puisque ( xn + 1/(n+ 1))ў = xn. La relation (1) est satisfaite dans un sens encore plus général si n remplacer par n'importe quel nombre rationnel k, sauf –1.

Une fonction primitive arbitraire pour une fonction donnée F(X) est généralement appelée l’intégrale indéfinie de F(X) et le désignons sous la forme

Par exemple, puisque (péché X)ў = cos X, la formule est valide

Dans de nombreux cas où il existe une formule pour l'intégrale indéfinie d'une fonction donnée, elle peut être trouvée dans de nombreux tableaux d'intégrales indéfinies largement publiés. Les intégrales des fonctions élémentaires sont tabulaires (elles comprennent les puissances, les logarithmes, les fonctions exponentielles, les fonctions trigonométriques, les fonctions trigonométriques inverses, ainsi que leurs combinaisons finies obtenues par les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division). À l'aide des intégrales de tableau, vous pouvez calculer les intégrales de fonctions plus complexes. Il existe de nombreuses façons de calculer des intégrales indéfinies ; La plus courante d'entre elles est la méthode de substitution de variable ou de substitution. Cela consiste dans le fait que si l’on veut remplacer dans l’intégrale indéfinie (2) Xà une fonction différentiable X = g(toi), alors pour que l'intégrale reste inchangée, il faut X remplacé par gў ( toi)du. En d'autres termes, l'égalité

(remplacement 2 X = toi, d'où 2 dx = du).

Présentons une autre méthode d'intégration - la méthode d'intégration par parties. Il est basé sur la formule déjà connue

En intégrant les côtés gauche et droit, et en tenant compte de cela

Cette formule est appelée formule d’intégration par parties.

Exemple 2. Vous devez trouver. Depuis parce que X= (péché X)ў , on peut écrire que

De (5), en supposant toi = X Et v= péché X, on a

Et depuis (–cos X)ў = péché X nous trouvons que

Il faut souligner que nous nous sommes limités à une très brève introduction à un sujet très vaste dans lequel de nombreuses techniques ingénieuses ont été accumulées.

Fonctions de deux variables.

En raison de la courbe oui = F(X), nous avons considéré deux problèmes.

1) Trouver le coefficient angulaire de la tangente à la courbe en un point donné. Ce problème est résolu en calculant la valeur de la dérivée Fў ( X) au point spécifié.

2) Trouvez l'aire sous la courbe au-dessus du segment d'axe X, délimité par des lignes verticales X = UN Et X = b. Ce problème est résolu en calculant une intégrale définie.

Chacun de ces problèmes a un analogue dans le cas d'une surface z = F(X,oui).

1) Trouvez le plan tangent à la surface en un point donné.

2) Trouver le volume sous la surface au-dessus de la partie de l'avion xy, délimité par une courbe AVEC, et du côté – perpendiculaire au plan xy passant par les points de la courbe limite AVEC (cm. riz. 22).

Les exemples suivants montrent comment ces problèmes sont résolus.

Exemple 4. Trouver le plan tangent à la surface

au point (0,0,2).

Un plan est défini si deux lignes sécantes qui s'y trouvent sont données. Une de ces lignes droites ( je 1) on monte dans l'avion xz (à= 0), seconde ( je 2) – dans l'avion ouais (X = 0) (cm. riz. 23).

Tout d'abord, si à= 0, alors z = F(X,0) = 2 – 2X – 3X 2. Dérivé par rapport à X, noté Fў X(X,0) = –2 – 6X, à X= 0 a une valeur de –2. Droit je 1 donné par les équations z = 2 – 2X, à= 0 – tangente à AVEC 1, lignes d'intersection de la surface avec le plan à= 0. De même, si X= 0, alors F(0,oui) = 2 – oui – oui 2 , et la dérivée par rapport à à ressemble à

Parce que Fў oui(0,0) = –1, courbe AVEC 2 – ligne d'intersection de la surface avec le plan ouais– a une tangente je 2 donné par les équations z = 2 – oui, X= 0. Le plan tangent souhaité contient les deux droites je 1 et je 2 et s'écrit par l'équation

C'est l'équation d'un plan. De plus, nous recevons directement je 1 et je 2, en supposant, par conséquent, à= 0 et X = 0.

Le fait que l'équation (7) définit réellement un plan tangent peut être vérifié au niveau heuristique en notant que cette équation contient des termes du premier ordre inclus dans l'équation (6), et que les termes du second ordre peuvent être représentés sous la forme -. Puisque cette expression est négative pour toutes les valeurs X Et à, sauf X = à= 0, la surface (6) se trouve partout sous le plan (7), à l'exception du point R.= (0,0,0). On peut dire que la surface (6) est convexe vers le haut au point R..

Exemple 5. Trouvez le plan tangent à la surface z = F(X,oui) = X 2 – oui 2 à l'origine 0.

En surface à= 0 on a : z = F(X,0) = X 2 et Fў X(X,0) = 2X. Sur AVEC 1, lignes d'intersection, z = X 2. À ce point Ô la pente est égale à Fў X(0,0) = 0. Dans l'avion X= 0 on a : z = F(0,oui) = –oui 2 et Fў oui(0,oui) = –2oui. Sur AVEC 2, lignes d'intersection, z = –oui 2. À ce point Ô pente de la courbe AVEC 2 est égal Fў oui(0,0) = 0. Puisque les tangentes à AVEC 1 et AVEC 2 sont des axes X Et à, le plan tangent qui les contient est le plan z = 0.

Cependant, au voisinage de l’origine, notre surface n’est pas du même côté du plan tangent. En effet, une courbe AVEC 1 partout, sauf le point 0, se situe au-dessus du plan tangent, et la courbe AVEC 2 – respectivement en dessous. La surface coupe le plan tangent z= 0 en droite à = X Et à = –X. Une telle surface est dite avoir une pointe selle à l'origine (Fig. 24).

Dérivées partielles.

Dans les exemples précédents, nous avons utilisé des dérivées de F (X,oui) Par X et par à. Considérons maintenant ces dérivées dans un sens plus général. Si nous avons une fonction de deux variables, par exemple, F(X,oui) = X 2 – xy, alors on peut déterminer en chaque point ses deux « dérivées partielles », une en différenciant la fonction par rapport à X et fixation à, l’autre – différenciant par à et fixation X. La première de ces dérivées est notée Fў X(X,oui) ou ¶ F/¶ X; deuxièmement - comment F f ў oui. Si les deux dérivées mixtes (par X Et à, Par à Et X) sont continus, alors ¶ 2 F/¶ X¶ oui= ¶2 F/¶ oui¶ X; dans notre exemple ¶ 2 F/¶ X¶ oui= ¶2 F/¶ oui¶ X = –1.

Dérivée partielle Fў X(X,oui) indique le taux de changement de la fonction F au point ( X,oui) dans le sens d’une augmentation X, UN Fў oui(X,oui) – taux de changement de fonction F dans le sens d'une augmentation à. Taux de changement de fonction F au point ( X,à) dans la direction d'une droite faisant un angle q avec direction d'axe positive X, est appelée la dérivée de la fonction F vers; sa valeur est une combinaison de deux dérivées partielles de la fonction f dans le plan tangent est presque égal (à petit dx Et mourir) vrai changement z en surface, mais le calcul du différentiel est généralement plus facile.

La formule de la méthode du changement de variable que nous avons déjà considérée, connue sous le nom de dérivée d'une fonction complexe ou règle de chaîne, dans le cas unidimensionnel où à dépend de X, UN X dépend de t, a la forme :

Pour les fonctions de deux variables, une formule similaire a la forme :

Les concepts et notations de différenciation partielle sont faciles à généraliser à des dimensions supérieures. En particulier, si la surface est spécifiée implicitement par l'équation F(X,oui,z) = 0, l'équation du plan tangent à la surface peut prendre une forme plus symétrique : l'équation du plan tangent au point ( x(x 2 /4)], puis intégré sur X de 0 à 1. Le résultat final est 3/4.

La formule (10) peut également être interprétée comme ce qu'on appelle une double intégrale, c'est-à-dire comme limite de la somme des volumes des « cellules » élémentaires. Chacune de ces cellules a une base D X D oui et une hauteur égale à la hauteur de la surface au-dessus d'un certain point de la base rectangulaire ( cm. riz. 26). On peut montrer que les deux points de vue sur la formule (10) sont équivalents. Les intégrales doubles sont utilisées pour trouver les centres de gravité et de nombreux moments rencontrés en mécanique.

Une justification plus rigoureuse de l'appareil mathématique.

Jusqu’à présent, nous avons présenté les concepts et méthodes d’analyse mathématique sur un plan intuitif et n’avons pas hésité à recourir aux figures géométriques. Il nous reste à considérer brièvement les méthodes plus rigoureuses apparues aux XIXe et XXe siècles.

Au début du XIXe siècle, lorsque prit fin l’ère des tempêtes et des pressions dans la « création de l’analyse mathématique », les questions de sa justification se posèrent sur le devant de la scène. Dans les travaux d'Abel, Cauchy et de plusieurs autres mathématiciens éminents, les concepts de « limite », de « fonction continue », de « série convergente » ont été définis avec précision. Cela était nécessaire pour introduire un ordre logique dans la base de l’analyse mathématique afin d’en faire un outil de recherche fiable. La nécessité d'une justification approfondie est devenue encore plus évidente après la découverte en 1872 par Weierstrass de fonctions qui étaient partout continues mais nulle part différentiables (le graphique de telles fonctions présente un coude en chaque point). Ce résultat a eu un effet stupéfiant sur les mathématiciens, car il contredisait clairement leur intuition géométrique. Un exemple encore plus frappant du manque de fiabilité de l'intuition géométrique est la courbe continue construite par D. Peano, qui remplit complètement un certain carré, c'est-à-dire passant par tous ses points. Ces découvertes et d’autres ont donné naissance au programme « d’arithmétisation » des mathématiques, c’est-à-dire le rendant plus fiable en fondant tous les concepts mathématiques sur le concept de nombre. L’abstinence presque puritaine de clarté dans les travaux sur les fondements des mathématiques avait sa justification historique.

Selon les canons modernes de rigueur logique, il est inacceptable de parler de l'aire sous la courbe oui = F(X) et au-dessus du segment d'axe X, même F- une fonction continue, sans définir au préalable le sens exact du terme « zone » et sans établir que la zone ainsi définie existe réellement. Ce problème a été résolu avec succès en 1854 par B. Riemann, qui a donné une définition précise de la notion d'intégrale définie. Depuis, l'idée de sommation derrière le concept d'intégrale définie a fait l'objet de nombreuses études approfondies et généralisations. De ce fait, il est aujourd’hui possible de donner un sens à l’intégrale définie, même si l’intégrande est partout discontinue. De nouveaux concepts d'intégration, à la création desquels A. Lebesgue (1875-1941) et d'autres mathématiciens ont grandement contribué, ont accru la puissance et la beauté de l'analyse mathématique moderne.

Il ne serait guère approprié d’entrer dans les détails de tous ces concepts et d’autres encore. Nous nous limiterons seulement à donner des définitions strictes de la limite et de l'intégrale définie.

En conclusion, disons que l’analyse mathématique, étant un outil extrêmement précieux entre les mains d’un scientifique et d’un ingénieur, attire encore aujourd’hui l’attention des mathématiciens comme source d’idées fécondes. Dans le même temps, l’évolution moderne semble indiquer que l’analyse mathématique est de plus en plus absorbée par les dominants du XXe siècle. branches des mathématiques telles que l’algèbre abstraite et la topologie.

Compilé par Yu.V. Obrubov

Kalouga - 2012

Introduction à l'analyse mathématique.

Nombres réels. Variables et constantes.

L'un des concepts fondamentaux des mathématiques est nombre. Les nombres positifs 1,2,3, ..., obtenus lors du comptage, sont appelés naturel. Les nombres... -3,-2,-1,0,1,2,3,... sont appelés entiers. Nombres pouvant être exprimés comme un rapport fini de deux entiers (
) sont appelés rationnel. Ceux-ci incluent des nombres entiers et des fractions, des nombres positifs et négatifs. Les nombres représentés par des fractions infinies non périodiques sont appelés irrationnel. Des exemples de nombres irrationnels sont
,
. Dans l’ensemble des nombres irrationnels, il y a transcendantal Nombres. Ce sont des nombres qui sont le résultat d’opérations non algébriques. Le plus célèbre d'entre eux est le numéro et numéro Neperovo . Les nombres rationnels et irrationnels sont appelés valide . Les nombres réels sont représentés par des points sur la droite numérique. Chaque point de la droite numérique correspond à un seul nombre réel et, inversement, chaque nombre réel correspond à un seul point de la droite numérique. Ainsi, une correspondance biunivoque est établie entre les nombres réels et les points de la droite numérique. Cela permet d'utiliser indifféremment les termes « numéro a » et « point a ».

Dans le processus d'étude de divers processus physiques, économiques et sociaux, on doit souvent faire face à des quantités qui représentent les valeurs numériques des paramètres des phénomènes étudiés. Dans le même temps, certains d’entre eux changent, tandis que d’autres conservent leurs valeurs.

Variable est une quantité qui prend différentes valeurs numériques. Une quantité dont la valeur numérique ne change pas dans un problème ou une expérience donnée est appelée constante. Les quantités variables sont généralement désignées par des lettres latines
et constantes
.

Valeur variable est considéré comme donné si l'ensemble des valeurs qu'il peut prendre est connu. Cet ensemble est appelé plage de variation de la variable.

Il existe différents types d'ensembles de valeurs d'une variable numérique.

Intervalle est l'ensemble des valeurs de x contenues entre les nombres a et b, tandis que les nombres a et b n'appartiennent pas à l'ensemble en question. L'intervalle est noté : (a,b);a

Par segment est l'ensemble des valeurs de x contenues entre les nombres a et b, tandis que les nombres a et b appartiennent à l'ensemble en question. Le segment est noté ,a≤x≤b.

L’ensemble de tous les nombres réels est un intervalle ouvert. Noté par : (- ∞,+ ∞), -∞<х <+∞, R.

Quartier du point x 0 est un intervalle arbitraire (a,b) contenant le point x 0, tous les points de cet intervalle satisfont à l'inégalitéa

ε - voisinage du point a est un intervalle de centre au point a qui satisfait l'inégalité a – ε

Fonction. Définitions et concepts de base.

La fonction est l'un des concepts de base de l'analyse mathématique. Soit X et Y des ensembles arbitraires de nombres réels.

Si chaque nombre x X, selon une règle ou une loi, est associé à un seul nombre réel bien défini yY, alors ils disent que le nombre donné fonction avec le domaine de définition de X et l'ensemble des valeurs de Y. Noté y = f (x). La variable x s'appelle argument les fonctions.

Dans la définition d'une fonction, deux points sont essentiels : indiquer le domaine de définition et établir la loi de correspondance.

Domaine de définition ou domaine d'existence Une fonction est l'ensemble des valeurs d'argument pour lesquelles la fonction existe, c'est-à-dire qu'elle a du sens.

Changer de zone Une fonction est l'ensemble des valeurs y qu'elle prend étant donné les valeurs acceptables de x.

Méthodes de spécification d'une fonction.

Méthode analytique de spécification d'une fonction.

Avec cette méthode de spécification d'une fonction, la loi de correspondance s'écrit sous la forme d'une formule (une expression analytique) indiquant par quelles transformations mathématiques la valeur correspondante de y peut être trouvée à partir d'une valeur connue de l'argument x.

Une fonction peut être spécifiée par une expression analytique dans tout son domaine de définition ou représenter une collection de plusieurs expressions analytiques.

Par exemple : y = péché (x 2 + 1)

2. Méthode tabulaire de spécification d'une fonction

À la suite de l'observation directe ou de l'étude expérimentale de tout phénomène ou processus, les valeurs de l'argument x et les valeurs correspondantes de y sont écrites dans un certain ordre.

Ce tableau définit la fonction y de x.

Un exemple de méthode tabulaire de spécification d'une fonction peut être des tableaux de fonctions trigonométriques, des tableaux de logarithmes, de dates et de taux de change, de température et d'humidité de l'air, etc.

3. Méthode graphique de spécification d'une fonction.

La méthode graphique de spécification d'une fonction consiste à représenter les points (x, y) sur le plan de coordonnées à l'aide de dispositifs techniques. La méthode graphique de spécification d'une fonction n'est pas utilisée en analyse mathématique, mais l'illustration graphique des fonctions définies analytiquement est toujours utilisée.

D'après le dictionnaire de la langue russe analyse est une méthode de recherche scientifique qui prend en compte les aspects individuels, les propriétés et les composants de quelque chose. L'une des branches les plus importantes des mathématiques s'appelle analyse mathematique, et souvent même juste une analyse. La question se pose immédiatement : qu'est-ce qui est exactement analysé par l'analyse mathématique? La réponse est claire - les fonctions sont analysées. Fonction(du latin « functionio » – mise en œuvre) représente la relation entre les valeurs numériques variables.

L’analyse étant une méthode de recherche, une deuxième question se pose : quelle est cette méthode? La réponse est donnée par le deuxième nom de l'analyse mathématique - calcul différentiel et intégral. Le calcul est la branche des mathématiques qui définit les règles de calcul. Mot " différentiel" vient du mot latin " différenciation ", c'est-à-dire différence. Mot " intégral« n'a pas une origine aussi claire (« entier » - tout ; « integra » - restaurer), mais il a le sens de combiner des parties en un tout, en restaurant ce qui a été brisé en différences. Cette récupération est obtenue grâce à addition.

Résumons les premiers résultats :

· Objets principaux, étudié en analyse mathématique, ce sont des fonctions.

· Les fonctions sont des dépendances de différents types entre des valeurs numériques variables.

· La méthode d'analyse mathématique est la différenciation– travailler avec des différences de valeurs de fonction, et l'intégration– calcul des montants.

Ainsi, pour maîtriser l’analyse mathématique, il faut avant tout comprendre la notion de fonction. La fonction est un concept mathématique important car les fonctions sont une manière mathématique de décrire le mouvement et le changement. La fonction est un processus.

Le type de mouvement le plus important est le mouvement mécanique en ligne droite. Lors d'un déplacement, les distances parcourues par un objet sont mesurées, mais cela n'est clairement pas suffisant pour décrire complètement le mouvement. Achille et la tortue peuvent se déplacer à la même distance du point de départ, mais leur mouvement diffère en termes de vitesse, et la vitesse ne peut être mesurée sans mesurer le temps.

En considérant cet exemple, il apparaît clairement qu’une seule variable ne suffit pas à décrire le mouvement et le changement. Il est intuitivement clair que le temps change de manière uniforme, mais la distance peut changer plus rapidement ou plus lentement. Le mouvement est entièrement décrit si, à chaque instant, on sait à quelle distance l'objet s'est déplacé du point de départ. Ainsi, avec le mouvement mécanique, une correspondance apparaît entre les valeurs de deux grandeurs variables - le temps, qui change quoi qu'il arrive, et la distance, qui dépend du temps. Ce fait constitue la base de la définition d’une fonction. Dans ce cas, les deux variables ne sont plus appelées temps et distance.

Définition de la fonction : fonction – est-ce une règle ou une loi, attribuant à chaque valeur de la variable indépendante X valeur spécifique de la variable dépendante à . Variable indépendante X s'appelle un argument, et la dépendance à - fonction. On dit parfois qu’une fonction est une relation entre deux variables.

Comment visualiser ce qu'est une variable ? Une variable est une droite numérique (règle ou échelle) le long de laquelle se déplace un point (thermomètre ou aiguille à tricoter avec une perle). Une fonction est un mécanisme d'engrenages à deux fenêtres x et y. Ce mécanisme permet d'installer dans une fenêtre X n'importe quelle valeur, et dans la fenêtre à La valeur de la fonction apparaîtra automatiquement à l'aide des engrenages.

Problème 1. La température du patient est mesurée toutes les heures. Il existe une fonction - la dépendance de la température au temps. Comment présenter cette fonction ? Répondre: tableau et graphique.

Une fonction est continue, tout comme le mouvement est continu, mais en pratique il est impossible de fixer cette continuité. Vous ne pouvez capturer que des valeurs d’argument et de fonction individuelles. Cependant, en théorie, il est encore possible de décrire la continuité.

Problème 2. Galileo Galilei a découvert qu'un corps en chute libre parcourt une unité de distance pendant la première seconde, 3 unités pendant la seconde, 5 unités pendant la troisième, etc. Déterminez la dépendance du temps sur la distance. Note: dériver une formule générale pour la dépendance de la distance parcourue sur le nombre de distance.

Méthodes de spécification des fonctions.

Problèmes d'analyse mathématique.

Transition d'une représentation d'une fonction à une autre (calcul des valeurs d'une fonction, construction de fonctions analytiques approximatives à partir de données expérimentales numériques et graphiques, étude de fonctions et construction de graphiques).

Étude mathématique des propriétés d'une fonction en tant que processus. Exemple 1 : recherche de vitesse à l'aide d'une fonction connue de trajet en fonction du temps (différenciation). Exemple 2 : trouver un chemin en utilisant une fonction connue de la vitesse en fonction du temps (intégration).

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ANALYSE MATHEMATIQUE

partie des mathématiques, dans laquelle les fonctions et leurs généralisations sont étudiées par la méthode limites. La notion de limite est étroitement liée à la notion de quantité infinitésimale, on peut donc aussi dire que M. a. étudie les fonctions et leurs généralisations en utilisant la méthode infinitésimale.

Le nom "M. a." - une modification abrégée de l'ancien nom de cette partie des mathématiques - « Analyse des infinitésimaux » ; cette dernière révèle le contenu plus complètement, mais elle est également abrégée (le titre « Analyse au moyen d'infinitésimaux » caractériserait plus précisément le sujet). Dans le M. a. classique. les objets d'étude (analyse) sont avant tout des fonctions. « Tout d’abord » parce que le développement de M. a. a conduit à la possibilité d'étudier avec ses méthodes des formations plus complexes que les fonctionnelles, les opérateurs, etc.

Dans la nature et dans la technologie, on trouve partout des mouvements et des processus qui sont décrits par des fonctions ; les lois des phénomènes naturels sont aussi généralement décrites par des fonctions. D'où l'importance objective de M. a. comme moyen d'étudier les fonctions.

M. a. au sens large du terme, elle recouvre une très grande partie des mathématiques. Il comprend calcul différentiel, intégral, théorie des fonctions d'une variable complexe, théorie équations différentielles ordinaires, théorie équations aux dérivées partielles, théorie équations intégrales, calcul des variations, analyse fonctionnelle et quelques autres mathématiques disciplines. Moderne la théorie du nombre Et théorie des probabilités appliquer et développer des méthodes de MA.

Pourtant, le terme M. a. souvent utilisé pour ne citer que les fondements de l'analyse mathématique, qui combinent la théorie nombre réel théorie des limites, théorie Lignes, calcul différentiel et intégral et leurs applications directes, telles que la théorie des maxima et minima, la théorie fonctions implicites, séries de Fourier, intégrales de Fourier.

Fonction. Dans M. a. partir de la définition d’une fonction selon Lobatchevski et Dirichlet. Si chaque nombre xy d'un certain ensemble de nombres F, en vertu de k.-l. la loi est incluse dans le nombre oui, alors ceci définit la fonction

à partir d'une variable X. La fonction est définie de la même manière

à partir de variables, où x=(x1 , ..., xp) - point dans un espace à n dimensions ; considérer également les fonctions

à partir de points x=(x1 , X 2 , ...) d'un certain espace de dimension infinie, qui sont cependant plus souvent appelées fonctionnelles.

Fonctions élémentaires. Importance fondamentale chez M. a. jouer fonctions élémentaires. En pratique, ils fonctionnent principalement avec des fonctions élémentaires ; ils sont utilisés pour approximer des fonctions de nature plus complexe. Les fonctions élémentaires peuvent être considérées non seulement pour le réel, mais aussi pour le complexe x ; alors les idées sur ces fonctions deviennent, en un certain sens, complètes. À cet égard, une branche importante de M. est née, appelée. théorie des fonctions d'une variable complexe, ou théorie fonctions analytiques.

Nombre réel. La notion de fonction repose essentiellement sur la notion de nombre réel (rationnel et irrationnel). Elle ne fut finalement constituée qu'à la fin du XIXe siècle. En particulier, une connexion logiquement parfaite a été établie entre les nombres et les points géométriques. ligne droite, qui a conduit à la justification formelle des idées de R. Descartes (R. Descartes, milieu du XVIIe siècle), qui a introduit les systèmes de coordonnées rectangulaires dans les mathématiques et la représentation des fonctions dans ceux-ci par des graphiques.

Limite. Dans M. a. la méthode d’étude des fonctions est . Une distinction est faite entre la limite d'une suite et la limite d'une fonction. Ces concepts n'ont finalement été formés qu'au 19ème siècle, bien que les Grecs anciens en aient eu une idée. scientifiques. Il suffit de dire qu'Archimède (IIIe siècle avant JC) était capable de calculer un segment de parabole grâce à un processus que l'on appellerait le passage à la limite (voir. Méthode d'épuisement).

Fonctions continues. Les fonctions importantes étudiées en MA sont formées fonctions continues. Une définition possible de ce concept : fonction y = f(x).à partir d'une variable X, donné sur l'intervalle ( un B), appelé continu en un point X, Si

La fonction est continue sur l'intervalle ( un B), s'il est continu en tous ses points ; c'est alors une courbe, continue dans l'entendement quotidien du mot.

Dérivé et . Parmi les fonctions continues, il faut souligner les fonctions qui ont dérivé. Dérivée d'une fonction

en un point est le taux de changement à ce point, c'est-à-dire la limite

Si vous avez la coordonnée d'un point se déplaçant le long de l'axe des ordonnées dans le temps X, alors f" (x). est la vitesse instantanée du point à l'instant X.

Par le signe de la dérivée f" (x) . juger de la nature du changement de f(x) : si f"(z)>0 ( F"(X) <0 ). sur l'intervalle ( Dakota du Sud), puis la fonction / augmente (diminue) sur cet intervalle. Si la fonction / en un point x atteint un extremum local (maximum ou minimum) et a une dérivée en ce point, alors cette dernière est égale à zéro en ce point f" (x 0) = 0.

L'égalité (1) peut être remplacée par l'égalité équivalente

où est infinitésimal, quand c'est à dire si la fonction f a une dérivée au point X, alors son incrément à ce stade est décomposé en deux termes. Parmi ceux-ci, le premier

est de (proportionnel), la seconde - tend vers zéro plus vite que

Valeur (2) appelée. différentiel les fonctions correspondant à l'incrément At petit peuvent être considérées comme approximativement égales mourir:

Les considérations ci-dessus concernant le différentiel sont typiques de MA. Ils s'étendent aux fonctions de nombreuses variables et aux fonctionnelles.

Par exemple, si la fonction

à partir de variables a une continuité dérivées partiellesà ce point x=(x1 , ... , xn), puis son incrément correspondant aux incréments de variables indépendantes peut s'écrire sous la forme

où quand c'est si tout

Ici, le premier terme du côté droit de (3) est la différentielle dz fonctions f. Cela dépend linéairement de et le deuxième terme tend vers zéro plus vite que

Laisser être donné (voir art. Calcul des variations)

étendu aux classes de fonctions x(t) , ayant une dérivée continue sur le segment et satisfaisant les conditions aux limites x( t 0)=x 0, X( t1)=x l , Où x0, x1 - numéros de données ; soit en outre la classe de la fonction h(t) , ayant une dérivée continue sur et telle que h( t 0)=h(t1)=0. Évidemment, si

En calcul des variations il est prouvé que, sous certaines conditions sur L, l'incrément de la fonctionnelle J(x) peut s'écrire sous la forme

à où

et, ainsi, le deuxième terme du côté droit de (4) tend vers zéro plus vite que ||h||, et le premier terme dépend linéairement du premier terme de (4) appelé. variation de la fonctionnelle et est noté dJ( x,h).

Intégral. Avec la dérivée, elle revêt une importance fondamentale en mathématiques. Il existe des intégrales indéfinies et définies.

L'intégrale indéfinie est étroitement liée à la fonction primitive. La fonction F(x) est appelée. primitive de la fonction f sur l'intervalle ( un B), si sur cet intervalle F"(X) =f(X).

Intégrale définie (Riemann) de la fonction / sur l'intervalle [ un, b]il y a une limite

Si la fonction f est positive et continue sur l'intervalle [ un B], alors son intégrale sur ce segment est égale à l'aire de la figure délimitée par la courbe y = f(x), axe Oh et droit x=a, x=b.

La classe des fonctions intégrables de Riemann contient toutes les fonctions continues sur [ un B]fonctions et certaines fonctions discontinues. Mais ils sont tous forcément limités. Pour les fonctions illimitées qui ne croissent pas très vite, ainsi que pour certaines fonctions définies sur des intervalles infinis, ce qu'on appelle intégrales impropres, nécessitant un double passage à la limite pour leur définition.

Le concept d'intégrale de Riemann pour une fonction d'une variable s'étend aux fonctions de plusieurs variables (voir Intégrale multiple).

En revanche, les besoins de M. a. conduit à une généralisation de l'intégrale dans une direction complètement différente, c'est-à-dire intégrale de Lebesgue ou plus général Intégrale de Lebesgue-Stieltjes. L'essentiel dans la définition de ces intégrales est l'introduction pour certains ensembles, dits mesurables, de la notion de leur mesure et, sur cette base, de la notion de fonction mesurable. Pour les fonctions mesurables, l'intégrale de Lebesgue - Stieltjes est introduite. Dans ce cas, un large éventail de mesures différentes et les classes correspondantes d’ensembles et de fonctions mesurables sont prises en compte. Cela permet d'adapter l'une ou l'autre intégrale à un problème spécifique précis.

Formule de Newton-Leibniz. Il existe un lien entre la dérivée et l'intégrale, exprimé par la formule de Newton-Leibniz (théorème)

Ici f(x).continuous sur [ un B]fonction, un F(x) - son prototype.

Formule et Taylor. Avec la dérivée et l'intégrale, le concept (outil de recherche) le plus important en mathématiques mathématiques. sont Taylor et Taylor rangée. Si la fonction f(x) , un a des dérivées continues jusqu'à l'ordre n inclus dans un voisinage du point x 0, alors il peut être approximé dans ce voisinage par un polynôme

appelé par son polynôme de Taylor (degré n).par puissances xx 0:

(formule de Taylor); dans ce cas l'erreur d'approximation

tend vers zéro à

plus rapide que

Ainsi, la fonction f(x).au voisinage du point x 0 peut être approchée avec n'importe quel degré de précision par une fonction très simple (polynôme), qui ne nécessite que de l'arithmétique pour son calcul. opérations - addition, soustraction et multiplication.

Les soi-disant sont particulièrement importants. des fonctions analytiques dans un certain voisinage de x 0 et ayant un nombre infini de dérivées, telles que pour elles dans ce voisinage à elles peuvent être représentées sous la forme d'une série de puissances de Taylor infinie :

Sous certaines conditions, les développements de Taylor sont également possibles pour les fonctions de nombreuses variables, ainsi que pour les fonctionnelles et les opérateurs.

Référence historique. Jusqu'au 17ème siècle M. a. était un ensemble de solutions à des problèmes particuliers isolés ; par exemple, en calcul intégral, il s'agit de problèmes de calcul des aires de figures, de volumes de corps aux limites courbes, du travail d'une force variable, etc. Chaque problème ou problème particulier était résolu par sa propre méthode, parfois complexe et lourde ( pour la préhistoire des mathématiques, voir l'article Calcul infinitésimal), M. a. comme une solution unique et systématique le tout s'est formé dans les travaux de I. Newton, G. Leibniz, L. Euler, J. Lagrange et d'autres scientifiques des XVIIe-XVIIIe siècles, et sa théorie des limites a été développée par O. Komi (A. Cauchy) dans le début. 19ème siècle Une analyse approfondie des concepts initiaux de MA. a été associé au développement des 19e et 20e siècles. théorie des ensembles, théorie des mesures, théorie des fonctions d'une variable réelle et a conduit à diverses généralisations.

Allumé.: La Valle - P u s e n Sh.-J. d e, Cours d'analyse des infinitésimaux, trans. du français, tomes 1-2, M., 1933 ; Ilyin V. A., Poznyak E. G., Fondements de l'analyse mathématique, 3e éd., partie 1, M., 1971 ; 2e éd., partie 2, M., 1980 ; Il et N V. A., Sadovnichy V. A., Seidov B. X., Analyse mathématique, M., 1979 ; K u d r i v c e v L. D., Mathematical Analysis, 2e éd., vol. 1-2, M., 1973 ; Nikolsky S. M., Cours d'analyse mathématique, 2e éd., volumes 1-2, M., 1975 ; U i t tek e r E. T., V a t s on D J. N., Cours d'analyse moderne, trad. de l'anglais, parties 1-2, 2e éd., M., 1962-63 ; F ikhtengolts G.M., Cours de calcul différentiel et intégral, 7e éd., tome 1-2, M., 1970 ; 5e éd., tome 3, M., 1970. S.M. Nikolski.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Voyez ce qu'est « ANALYSE MATHÉMATIQUE » dans d'autres dictionnaires :

L'ANALYSE MATHÉMATIQUE, un ensemble de branches des mathématiques consacrées à l'étude des fonctions par les méthodes du calcul différentiel et du calcul intégral... Encyclopédie moderne

Un ensemble de branches des mathématiques consacrées à l'étude des fonctions par des méthodes de calcul différentiel et intégral. Le terme est plus pédagogique que scientifique : des cours d'analyse mathématique sont dispensés dans les universités et les écoles techniques... Grand dictionnaire encyclopédique

Anglais analyse mathematique Allemand Analyse mathématique. Branche des mathématiques consacrée à l'étude des fonctions par des méthodes de calcul différentiel et intégral. Antinazi. Encyclopédie de sociologie, 2009... Encyclopédie de sociologie

Existe., nombre de synonymes : 2 matan (2) analyse mathématique (2) Dictionnaire des synonymes ASIS. V.N. Trishin. 2013… Dictionnaire de synonymes

ANALYSE MATHEMATIQUE- ANALYSE MATHEMATIQUE. Un ensemble de branches des mathématiques consacrées à l'étude des fonctions mathématiques par des méthodes de calcul différentiel et intégral. Utilisation des méthodes M. a. est un moyen efficace de résoudre les problèmes les plus importants... ... Nouveau dictionnaire de termes et concepts méthodologiques (théorie et pratique de l'enseignement des langues)

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Analyse mathematique- ANALYSE MATHÉMATIQUE, ensemble de branches des mathématiques consacrées à l'étude des fonctions par les méthodes du calcul différentiel et du calcul intégral. ... Dictionnaire encyclopédique illustré

Dans l’histoire des mathématiques, on peut distinguer grossièrement deux périodes principales : les mathématiques élémentaires et modernes. Le jalon à partir duquel il est d'usage de compter l'ère des mathématiques nouvelles (parfois appelées supérieures) était le XVIIe siècle - le siècle de l'apparition de l'analyse mathématique. Vers la fin du XVIIe siècle. I. Newton, G. Leibniz et leurs prédécesseurs ont créé l'appareil d'un nouveau calcul différentiel et d'un calcul intégral, qui constitue la base de l'analyse mathématique et même, peut-être, la base mathématique de toutes les sciences naturelles modernes.

L'analyse mathématique est un vaste domaine des mathématiques avec un objet d'étude caractéristique (quantité variable), une méthode de recherche unique (analyse au moyen d'infinitésimaux ou au moyen de passages aux limites), un certain système de concepts de base (fonction, limite, dérivée , différentiel, intégral, série) et un appareil en constante amélioration et en développement, dont la base est le calcul différentiel et intégral.

Essayons de donner une idée de quel type de révolution mathématique s'est produite au XVIIe siècle, ce qui caractérise la transition associée à la naissance de l'analyse mathématique des mathématiques élémentaires à ce qui fait aujourd'hui l'objet de recherches en analyse mathématique, et ce qui explique son rôle fondamental dans l'ensemble du système moderne de connaissances théoriques et appliquées.

Imaginez que devant vous se trouve une photographie couleur magnifiquement exécutée d'une vague océanique tumultueuse se précipitant sur le rivage : un dos voûté puissant, une poitrine raide mais légèrement enfoncée, une tête déjà penchée en avant et prête à tomber avec une crinière grise tourmentée par le vent. Vous avez arrêté le moment, vous avez réussi à capter la vague et vous pouvez désormais l'étudier attentivement dans les moindres détails, sans hâte. Une vague peut être mesurée, et en utilisant les outils des mathématiques élémentaires, vous pouvez tirer de nombreuses conclusions importantes sur cette vague, et donc sur toutes ses sœurs océaniques. Mais en arrêtant la vague, vous l'avez privée de mouvement et de vie. Son origine, son développement, sa course, la force avec laquelle il heurte le rivage - tout cela s'est avéré être hors de votre champ de vision, car vous ne disposez pas encore ni d'un langage ni d'un appareil mathématique adapté pour décrire et étudier non pas le statique, mais développement, processus dynamiques, variables et leurs relations.

« L’analyse mathématique n’est pas moins complète que la nature elle-même : elle détermine toutes les relations tangibles, mesure les temps, les espaces, les forces, les températures. » J. Fourier

Le mouvement, les variables et leurs relations nous entourent partout. Différents types de mouvements et leurs schémas constituent le principal objet d'étude de sciences spécifiques : physique, géologie, biologie, sociologie, etc. Par conséquent, un langage précis et les méthodes mathématiques correspondantes pour décrire et étudier les quantités variables se sont avérés nécessaires dans tous les domaines de des connaissances à peu près dans la même mesure que les nombres et l’arithmétique sont nécessaires pour décrire des relations quantitatives. Ainsi, l’analyse mathématique constitue la base du langage et des méthodes mathématiques permettant de décrire les variables et leurs relations. De nos jours, sans analyse mathématique, il est impossible non seulement de calculer les trajectoires spatiales, le fonctionnement des réacteurs nucléaires, le mouvement des vagues océaniques et les schémas de développement des cyclones, mais aussi de gérer économiquement la production, la répartition des ressources, l'organisation des processus technologiques, de prédire l'évolution de la situation. cours de réactions chimiques ou changements dans le nombre de diverses espèces interconnectées dans la nature, animales et végétales, car ce sont tous des processus dynamiques.

Les mathématiques élémentaires étaient principalement les mathématiques des quantités constantes, elles étudiaient principalement les relations entre les éléments des figures géométriques, les propriétés arithmétiques des nombres et les équations algébriques. Son attitude envers la réalité peut dans une certaine mesure être comparée à une étude attentive, voire approfondie et complète de chaque image fixe d'un film qui capture le monde vivant changeant et en développement dans son mouvement, qui, cependant, n'est pas visible dans une image séparée et ce qui ne peut être observé qu’en regardant la bande dans son ensemble. Mais tout comme le cinéma est impensable sans photographie, les mathématiques modernes sont impossibles sans cette partie que nous appelons conventionnellement élémentaire, sans les idées et les réalisations de nombreux scientifiques exceptionnels, parfois séparés par des dizaines de siècles.

Les mathématiques sont unies, et leur partie « supérieure » est liée à la partie « élémentaire » de la même manière que l'étage suivant d'une maison en construction est lié au précédent, et que la largeur des horizons que les mathématiques ouvrent pour nous dans le monde qui nous entoure dépend de l'étage de ce bâtiment que nous avons réussi à atteindre. Né au 17ème siècle. l'analyse mathématique nous a ouvert des opportunités pour décrire scientifiquement, étudier quantitativement et qualitativement les variables et le mouvement au sens large du terme.

Quelles sont les conditions préalables à l’émergence de l’analyse mathématique ?

Vers la fin du XVIIe siècle. La situation suivante s'est produite. Premièrement, dans le cadre des mathématiques elles-mêmes, au fil de nombreuses années, certaines classes importantes de problèmes du même type se sont accumulées (par exemple, les problèmes de mesure d'aires et de volumes de figures non standard, les problèmes de dessin de tangentes à des courbes) et des méthodes pour résoudre ils sont apparus dans divers cas particuliers. Deuxièmement, il s'est avéré que ces problèmes sont étroitement liés aux problèmes de description d'un mouvement mécanique arbitraire (pas nécessairement uniforme), et notamment au calcul de ses caractéristiques instantanées (vitesse, accélération à tout instant), ainsi qu'à la recherche du distance parcourue pour un mouvement se produisant à une vitesse variable donnée. La solution à ces problèmes était nécessaire au développement de la physique, de l’astronomie et de la technologie.

Enfin, troisièmement, vers le milieu du XVIIe siècle. les travaux de R. Descartes et P. Fermat ont jeté les bases de la méthode analytique des coordonnées (dite géométrie analytique), qui a permis de formuler des problèmes géométriques et physiques d'origine hétérogène dans le langage général (analytique) des nombres et les dépendances numériques, ou, comme nous disons maintenant, les fonctions numériques.

NIKOLAI NIKOLAEVITCH LUZINE (1883-1950) N. N. Luzin - mathématicien soviétique, fondateur de l'école soviétique de théorie des fonctions, académicien (1929). Luzin est né à Tomsk et a étudié au gymnase de Tomsk. Le formalisme du cours de mathématiques au gymnase a aliéné le jeune homme talentueux, et seul un tuteur compétent a pu lui révéler la beauté et la grandeur de la science mathématique. En 1901, Luzin entre au département de mathématiques de la Faculté de physique et de mathématiques de l'Université de Moscou. Dès les premières années de ses études, les questions liées à l’infini entrent dans son cercle d’intérêt. Fin du 19ème siècle. Le scientifique allemand G. Cantor a créé la théorie générale des ensembles infinis, qui a reçu de nombreuses applications dans l'étude des fonctions discontinues. Luzin commença à étudier cette théorie, mais ses études furent interrompues en 1905. L'étudiant, qui participa aux activités révolutionnaires, dut partir pour un temps en France. Il y écoute les conférences des plus éminents mathématiciens français de l'époque. À son retour en Russie, Luzin a obtenu son diplôme universitaire et a dû se préparer à un poste de professeur. Bientôt, il repart pour Paris, puis pour Göttingen, où il se rapproche de nombreux scientifiques et écrit ses premiers ouvrages scientifiques. Le principal problème qui intéressait le scientifique était de savoir s'il pouvait y avoir des ensembles contenant plus d'éléments que l'ensemble des nombres naturels, mais moins que l'ensemble des points d'un segment (le problème du continuum). Pour tout ensemble infini pouvant être obtenu à partir de segments en utilisant les opérations d'union et d'intersection de collections dénombrables d'ensembles, cette hypothèse était satisfaite, et pour résoudre le problème, il était nécessaire de découvrir quelles autres manières il existait de construire des ensembles . Parallèlement, Luzin étudie la question de savoir s'il est possible de représenter une fonction périodique, même comportant une infinité de points de discontinuité, comme la somme d'une série trigonométrique, c'est-à-dire la somme d’un nombre infini de vibrations harmoniques. Sur ces questions, Luzin obtient un certain nombre de résultats significatifs et soutient en 1915 sa thèse « Séries intégrales et trigonométriques », pour laquelle il obtient immédiatement le titre académique de docteur en mathématiques pures, contournant le master intermédiaire qui existait à cette époque. . En 1917, Luzin devient professeur à l'Université de Moscou. Pédagogue talentueux, il attire les étudiants et les jeunes mathématiciens les plus compétents. L'école de Luzin atteint son apogée dans les premières années post-révolutionnaires. Les étudiants de Luzin formèrent une équipe créative, qu’ils appelèrent en plaisantant « Lusitania ». Beaucoup d’entre eux ont obtenu des résultats scientifiques de premier ordre alors qu’ils étaient encore étudiants. Par exemple, P. S. Aleksandrov et M. Ya. Suslin (1894-1919) ont découvert une nouvelle méthode de construction d'ensembles, qui a servi de point de départ au développement d'une nouvelle direction : la théorie descriptive des ensembles. Les recherches menées dans ce domaine par Luzin et ses étudiants ont montré que les méthodes habituelles de la théorie des ensembles ne suffisent pas à résoudre bon nombre des problèmes qui s'y posent. Les prédictions scientifiques de Luzin se sont pleinement confirmées dans les années 60. XXe siècle De nombreux étudiants de N. N. Luzin devinrent plus tard des académiciens et des membres correspondants de l’Académie des sciences de l’URSS. Parmi eux se trouve P. S. Alexandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentyev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov. LG Shnirelman et autres. Les mathématiciens soviétiques et étrangers modernes développent dans leurs travaux les idées de N. N. Luzin.

La confluence de ces circonstances a conduit au fait qu'à la fin du XVIIe siècle. deux scientifiques - I. Newton et G. Leibniz - ont réussi indépendamment l'un de l'autre à créer un appareil mathématique pour résoudre ces problèmes, résumant et généralisant les résultats individuels de leurs prédécesseurs, y compris l'ancien scientifique Archimède et les contemporains de Newton et Leibniz - B. Cavalieri, B. Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Cet appareil constitue la base de l'analyse mathématique - une nouvelle branche des mathématiques qui étudie divers processus de développement, c'est-à-dire relations entre variables, qui en mathématiques sont appelées dépendances fonctionnelles ou, en d'autres termes, fonctions. Soit dit en passant, le terme « fonction » lui-même était nécessaire et est apparu naturellement précisément au XVIIe siècle, et il a désormais acquis non seulement une signification mathématique générale, mais aussi une signification scientifique générale.

Les premières informations sur les concepts de base et les appareils mathématiques d'analyse sont données dans les articles « Calcul différentiel » et « Calcul intégral ».

En conclusion, je voudrais m'attarder sur un seul principe d'abstraction mathématique, commun à toutes les mathématiques et caractéristique de l'analyse, et à cet égard expliquer sous quelle forme l'analyse mathématique étudie les variables et quel est le secret d'une telle universalité de ses méthodes d'étude. toutes sortes de processus de développement spécifiques et leurs interrelations.

Examinons quelques exemples illustratifs et analogies.

Parfois, nous ne réalisons plus que, par exemple, une relation mathématique écrite non pas pour des pommes, des chaises ou des éléphants, mais sous une forme abstraite, extraite d'objets spécifiques, constitue une réalisation scientifique exceptionnelle. Il s'agit d'une loi mathématique qui, comme le montre l'expérience, s'applique à divers objets spécifiques. Cela signifie qu'en étudiant en mathématiques les propriétés générales des nombres abstraits et abstraits, nous étudions ainsi les relations quantitatives du monde réel.

Par exemple, d'après un cours de mathématiques à l'école, on sait que, par conséquent, dans une situation spécifique, vous pourriez dire : « S'ils ne me donnent pas deux camions-bennes de six tonnes pour transporter 12 tonnes de terre, alors je peux demander pour trois camions-bennes de quatre tonnes et le travail sera fait, et s'ils ne me donnent qu'un seul camion-benne de quatre tonnes, alors elle devra effectuer trois vols. Ainsi, les nombres abstraits et les modèles numériques qui nous sont désormais familiers sont associés à leurs manifestations et applications spécifiques.

Les lois du changement de variables spécifiques et des processus de développement de la nature sont liées à peu près de la même manière à la forme-fonction abstraite et abstraite dans laquelle elles apparaissent et sont étudiées en analyse mathématique.

Par exemple, un ratio abstrait peut refléter la dépendance du box-office d'un cinéma au nombre de billets vendus, si 20 équivaut à 20 kopecks - le prix d'un billet. Mais si nous roulons à vélo sur une autoroute, parcourant 20 km/h, alors ce même rapport peut être interprété comme le rapport entre le temps (heures) de notre trajet à vélo et la distance parcourue pendant ce temps (kilomètres). disons toujours que, par exemple, un changement de plusieurs fois conduit à un changement proportionnel (c'est-à-dire le même nombre de fois) de la valeur de , et si , alors la conclusion opposée est également vraie. Cela signifie notamment que pour doubler le box-office d'une salle de cinéma, il faudra attirer deux fois plus de spectateurs, et pour parcourir deux fois plus de distance à vélo à la même vitesse, il faudra rouler deux fois plus longtemps. .

Les mathématiques étudient à la fois la dépendance la plus simple et d’autres dépendances beaucoup plus complexes sous une forme générale et abstraite, abstraite d’une interprétation particulière. Les propriétés d'une fonction ou les méthodes d'étude de ces propriétés identifiées dans une telle étude seront de la nature de techniques mathématiques générales, de conclusions, de lois et de conclusions applicables à chaque phénomène spécifique dans lequel se produit la fonction étudiée sous forme abstraite, quel que soit le domaine. de la connaissance à laquelle appartient ce phénomène.

Ainsi, l'analyse mathématique en tant que branche des mathématiques a pris forme à la fin du XVIIe siècle. Le sujet d'étude en analyse mathématique (telle qu'il ressort des positions modernes) sont les fonctions ou, en d'autres termes, les dépendances entre quantités variables.

Avec l'avènement de l'analyse mathématique, les mathématiques sont devenues accessibles à l'étude et à la réflexion des processus en développement dans le monde réel ; les mathématiques incluaient les variables et le mouvement.