Sadržaj članka
MATEMATIČKA ANALIZA, grana matematike koja pruža metode za kvantitativno proučavanje različitih procesa promjena; bavi se proučavanjem brzine promjene (diferencijalni račun) i određivanjem dužina krivih, površina i volumena figura ograničenih zakrivljenim konturama i površinama (integralni račun). Za probleme matematičke analize tipično je da je njihovo rješavanje povezano s pojmom granice.
Početak matematičke analize položili su 1665. I. Newton i (oko 1675.) samostalno G. Leibniz, iako su važne pripremne radove obavili I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) i I. Barrow (1630–1677).
Kako bismo prezentaciju učinili živopisnijom, pribjeći ćemo grafičkom jeziku. Stoga bi čitatelju moglo biti korisno da pogleda članak ANALITIČKA GEOMETRIJA prije nego počne čitati ovaj članak.
DIFERENCIJALNI RAČUN
Tangente.
Na sl. 1 prikazuje fragment krivulje y = 2x – x 2, priloženo između x= –1 i x= 3. Dovoljno mali segmenti ove krive izgledaju pravo. Drugim riječima, ako R je proizvoljna tačka ove krive, onda postoji određena prava linija koja prolazi kroz ovu tačku i koja je aproksimacija krive u maloj okolini tačke R, i što je susjedstvo manje, to je bolja aproksimacija. Takva prava se naziva tangenta na krivu u tački R. Glavni zadatak diferencijalnog računa je da se konstruiše opšta metoda koja omogućava da se pronađe pravac tangente u bilo kojoj tački na krivulji u kojoj postoji tangenta. Nije teško zamisliti krivinu sa oštrim prekidom (slika 2). Ako R je vrh takvog preloma, onda možemo konstruisati aproksimirajuću ravnu liniju P.T. 1 – desno od tačke R i još jedna aproksimirajuća prava linija RT 2 – lijevo od tačke R. Ali ne postoji jedna prava linija koja prolazi kroz tačku R, koji se jednako dobro približio krivulji u blizini tačke P i na desnoj i na lijevoj strani, dakle tangenta u tački P ne postoji.
Na sl. 1 tangenta OD provučen kroz ishodište O= (0,0). Nagib ove linije je 2, tj. kada se apscisa promijeni za 1, ordinata se povećava za 2. Ako x I y– koordinate proizvoljne tačke na OD, zatim, udaljavajući se od O na daljinu X jedinicama desno, mi se udaljavamo O na 2 y jedinice gore. dakle, y/x= 2, ili y = 2x. Ovo je tangentna jednadžba OD do krivine y = 2x – x 2 u tački O.
Sada je potrebno objasniti zašto, iz skupa pravih koje prolaze kroz tačku O, bira se prava linija OD. Kako se prava linija sa nagibom 2 razlikuje od ostalih pravih linija? Postoji jedan jednostavan odgovor i teško je odoljeti iskušenju da ga date koristeći analogiju tangente na kružnicu: tangenta OD ima samo jednu zajedničku tačku sa krivom, dok svaka druga ne-vertikalna linija koja prolazi kroz tačku O, dva puta siječe krivu. Ovo se može provjeriti na sljedeći način.
Od izraza y = 2x – x 2 se može dobiti oduzimanjem X 2 of y = 2x(jednačine prave linije OD), zatim vrijednosti y ima manje znanja za graf y za pravu liniju u svim tačkama osim tačke x= 0. Dakle, graf je svuda osim tačke O, koji se nalazi ispod OD, a ova prava i graf imaju samo jednu zajedničku tačku. Štaviše, ako y = mx- jednadžba neke druge prave koja prolazi kroz tačku O, tada će sigurno postojati dvije točke sjecišta. stvarno, mx = 2x – x 2 ne samo kada x= 0, ali i na x = 2 – m. I to samo kada m= 2 obje presečne tačke se poklapaju. Na sl. 3 pokazuje slučaj kada m je manji od 2, dakle desno od O pojavljuje se druga tačka preseka.
Šta OD– jedina nevertikalna prava linija koja prolazi kroz tačku O i imaju samo jednu zajedničku tačku sa grafom, a ne njegovo najvažnije svojstvo. Zaista, ako se okrenemo drugim grafovima, uskoro će postati jasno da svojstvo tangente koje smo zabilježili nije zadovoljeno u općem slučaju. Na primjer, sa sl. 4 jasno je da je blizu tačke (1,1) grafik krive y = x 3 je dobro aproksimirana ravnom linijom RT koji, međutim, ima više od jedne zajedničke tačke s njim. Međutim, željeli bismo razmotriti RT tangenta na ovaj graf u tački R. Stoga je potrebno pronaći neki drugi način da istaknemo tangentu od onog koji nam je tako dobro poslužio u prvom primjeru.
Pretpostavimo to kroz tačku O i proizvoljna tačka Q = (h,k) na grafu krive y = 2x – x 2 (Sl. 5) nacrtana je prava linija (koja se zove sekansa). Zamjena vrijednosti u jednadžbu krive x = h I y = k, razumemo k = 2h – h 2, dakle, ugaoni koeficijent sekansa je jednak
Na vrlo malom h značenje m blizu 2. Štaviše, biranje h dovoljno blizu 0 što možemo m proizvoljno blizu 2. Možemo to reći m"teži do granice" jednako 2 kada h teži nuli, ili bilo kojoj granici m jednako 2 at h teži nuli. Simbolično je napisano ovako:
Zatim tangenta na graf u tački O definira se kao prava linija koja prolazi kroz tačku O, sa nagibom jednakim ovoj granici. Ova definicija tangente je primjenjiva u općem slučaju.
Pokažimo prednosti ovog pristupa još jednim primjerom: pronađimo nagib tangente na graf krivulje y = 2x – x 2 u bilo kom trenutku P = (x,y), nije ograničen na najjednostavniji slučaj kada P = (0,0).
Neka Q = (x + h, y + k) – druga tačka na grafikonu, koja se nalazi na udaljenosti h desno od R(Sl. 6). Moramo pronaći nagib k/h secant PQ. Dot Q je na udaljenosti
iznad ose X.
Otvarajući zagrade, nalazimo:
Oduzimanje od ove jednačine y = 2x – x 2, pronađite vertikalnu udaljenost od tačke R do tačke Q:
Dakle, nagib m secant PQ jednaki
Sad to h teži nuli, m teži 2 – 2 x; Posljednju vrijednost ćemo uzeti kao ugaoni koeficijent tangente P.T.. (Isti rezultat će se dogoditi ako h uzima negativne vrijednosti, što odgovara odabiru tačke Q na lijevoj strani P.) Imajte na umu da kada x= 0 dobijeni rezultat se poklapa sa prethodnim.
Izraz 2 – 2 x zove se derivat od 2 x – x 2. U starim danima, derivat se nazivao i "diferencijalni odnos" i "diferencijalni koeficijent". Ako po izrazu 2 x – x 2 odrediti f(x), tj.
onda se derivacija može označiti
Da bismo saznali nagib tangente na graf funkcije y = f(x) u nekom trenutku je potrebno izvršiti zamjenu fў ( x) vrijednost koja odgovara ovoj tački X. Dakle, nagib f u (0) = 2 at X = 0, fý (0) = 0 at X= 1 i f v (2) = –2 at X = 2.
Izvod je takođe označen atў , dy/dx, D x y I Du.
Činjenica da je kriva y = 2x – x 2 u blizini date tačke se praktično ne razlikuje od svoje tangente u ovoj tački, omogućava nam da govorimo o ugaonom koeficijentu tangente kao o „ugaonom koeficijentu krive” u tački tangente. Dakle, možemo reći da nagib krive koju razmatramo ima nagib od 2 u tački (0,0). x= 0 stopa promjene y relativno x je jednako 2. U tački (2,0) nagib tangente (i krive) je –2. (Znak minus znači da kako rastemo x varijabla y opada.) U tački (1,1) tangenta je horizontalna. Kažemo da je kriva y = 2x – x 2 ima stacionarnu vrijednost u ovoj tački.
Usponi i padovi.
Upravo smo pokazali da je kriva f(x) = 2x – x 2 miruje u tački (1,1). Jer fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), jasno je da kada x, manje od 1, fў ( x) je pozitivan, i stoga y povećava; at x, veliki 1, fў ( x) je negativan, i stoga y smanjuje. Dakle, u blizini tačke (1,1), prikazane na Sl. 6 pismo M, značenje at raste do tačke M, stacionarni u tački M i opada nakon tačke M. Ova tačka se naziva „maksimalna“ jer je vrednost at u ovom trenutku premašuje bilo koju od svojih vrijednosti u dovoljno malom susjedstvu. Slično, „minimum“ se definiše kao tačka u čijoj blizini su sve vrednosti y premašiti vrijednost at u ovom trenutku. Takođe se može desiti da iako derivat od f(x) u određenoj tački i nestaje; njegov predznak u blizini ove tačke se ne mijenja. Takva tačka, koja nije ni maksimum ni minimum, naziva se tačka pregiba.
Kao primjer, pronađimo stacionarnu tačku krive
Izvod ove funkcije je jednak
i ide na nulu na x = 0, X= 1 i X= –1; one. u tačkama (0,0), (1, –2/15) i (–1, 2/15). Ako X onda nešto manje od –1 fў ( x) je negativan; Ako X onda nešto više od –1 fў ( x) je pozitivan. Dakle, tačka (–1, 2/15) je maksimum. Slično, može se pokazati da je tačka (1, –2/15) minimum. Ali derivat fў ( x) je negativan i prije tačke (0,0) i poslije nje. Prema tome, (0,0) je tačka pregiba.
Proučavanje oblika krivulje, kao i činjenice da kriva siječe osu X at f(x) = 0 (tj. kada X= 0 ili ) omogućavaju nam da predstavimo njegov graf približno kao što je prikazano na Sl. 7.
Općenito, ako izuzmemo neobične slučajeve (krive koje sadrže ravne segmente ili beskonačan broj krivina), postoje četiri opcije za relativni položaj krivulje i tangente u blizini tangentne točke R. (Cm. pirinač. 8, na kojoj tangenta ima pozitivan nagib.)
1) Sa obe strane tačke R kriva leži iznad tangente (slika 8, A). U ovom slučaju kažu da je kriva u tački R konveksno nadole ili konkavno.
2) Sa obe strane tačke R kriva se nalazi ispod tangente (slika 8, b). U ovom slučaju se kaže da je kriva konveksna prema gore ili jednostavno konveksna.
3) i 4) Kriva se nalazi iznad tangente na jednoj strani tačke R a ispod - na drugoj. U ovom slučaju R– tačka pregiba.
Poređenje vrijednosti fў ( x) sa obe strane R sa svojom vrijednošću u tački R, može se odrediti kojim se od ova četiri slučaja treba baviti u određenom problemu.
Prijave.
Sve navedeno ima značajnu primjenu u raznim oblastima. Na primjer, ako se tijelo baci okomito prema gore s početnom brzinom od 200 stopa u sekundi, tada će visina s, na kojoj će se nalaziti kroz t sekundi u odnosu na početnu tačku će biti
Postupajući na isti način kao u primjerima koje smo razmatrali, nalazimo
ova količina ide na nulu na c. Derivat fў ( x) je pozitivna do vrijednosti c i negativna nakon ovog vremena. dakle, s raste na , zatim postaje stacionarno, a zatim opada. Ovo je opći opis kretanja tijela bačenog prema gore. Iz njega znamo kada tijelo dostigne svoju najvišu tačku. Dalje, zamena t= 25/4 V f(t), dobijamo 625 stopa, maksimalnu visinu dizanja. U ovom problemu fў ( t) ima fizičko značenje. Ovaj izvod pokazuje brzinu kojom se tijelo kreće u jednom trenutku t.
Razmotrimo sada aplikaciju drugog tipa (slika 9). Od lista kartona površine 75 cm2 potrebno je napraviti kutiju s kvadratnim dnom. Koje treba da budu dimenzije ove kutije da bi imala maksimalan volumen? Ako X– strana osnove kutije i h je njegova visina, onda je zapremina kutije V = x 2 h, a površina je 75 = x 2 + 4xh. Transformacijom jednačine dobijamo:
Derivat od V ispada da je jednaka
i ide na nulu na X= 5. Onda
I V= 125/2. Grafikon funkcije V = (75x – x 3)/4 je prikazano na sl. 10 (negativne vrijednosti X izostavljen jer nema fizičkog značenja u ovom problemu).
Derivati.
Važan zadatak diferencijalnog računa je stvaranje metoda koje vam omogućavaju da brzo i jednostavno pronađete derivate. Na primjer, to je lako izračunati
(Izvod konstante je, naravno, nula.) Nije teško izvesti opšte pravilo:
Gdje n– bilo koji cijeli broj ili razlomak. Na primjer,
(Ovaj primjer pokazuje koliko su korisni razlomci eksponenta.)
Evo nekih od najvažnijih formula:
Postoje i sljedeća pravila: 1) ako svaka od dvije funkcije g(x) I f(x) ima izvode, onda je izvod njihovog zbira jednak zbiru izvoda ovih funkcija, a izvod razlike je jednak razlici izvoda, tj.
2) derivacija proizvoda dvije funkcije izračunava se po formuli:
3) derivacija odnosa dve funkcije ima oblik
4) izvod funkcije pomnozen konstantom jednak je konstanti pomnozenoj sa izvodom ove funkcije, tj.
Često se dešava da se vrednosti funkcije moraju izračunati korak po korak. Na primjer, za izračunavanje grijeha x 2, prvo moramo pronaći u = x 2, a zatim izračunajte sinus broja u. Izvod takvih složenih funkcija nalazimo koristeći takozvano „pravilo lanca“:
U našem primjeru f(u) = grijeh u, fў ( u) = cos u, dakle,
Ova i druga slična pravila omogućuju vam da odmah zapišete derivate mnogih funkcija.
Linearne aproksimacije.
Činjenica da, poznavajući derivaciju, u mnogim slučajevima možemo zamijeniti graf funkcije blizu određene tačke njenom tangentom u ovoj tački, od velike je važnosti, jer je lakše raditi s pravim linijama.
Ova ideja nalazi direktnu primjenu u izračunavanju približnih vrijednosti funkcija. Na primjer, prilično je teško izračunati vrijednost kada x= 1.033. Ali možete iskoristiti činjenicu da je broj 1,033 blizu 1 i to . Izbliza x= 1 možemo zamijeniti graf tangentnom krivom bez ikakvih ozbiljnih grešaka. Ugaoni koeficijent takve tangente jednak je vrijednosti derivacije ( x 1/3)ŭ = (1/3) x–2/3 pri x = 1, tj. 1/3. Budući da tačka (1,1) leži na krivulji i da je ugaoni koeficijent tangente na krivu u ovoj tački jednak 1/3, tangentna jednačina ima oblik
Na ovoj pravoj liniji X = 1,033
Primljena vrijednost y treba da bude veoma blizu pravoj vrednosti y; i, zaista, samo je 0,00012 više od pravog. U matematičkoj analizi razvijene su metode koje omogućavaju povećanje tačnosti ove vrste linearnih aproksimacija. Ove metode osiguravaju pouzdanost naših približnih proračuna.
Upravo opisana procedura sugerira jednu korisnu notaciju. Neka P– tačka koja odgovara grafu funkcije f varijabla X, i neka funkcija f(x) je diferencibilan. Zamenimo grafik krive blizu tačke R tangenta na nju povučenu u ovoj tački. Ako X promjena po vrijednosti h, tada će se ordinata tangente promijeniti za iznos h H f ў ( x). Ako h je vrlo mala, onda potonja vrijednost služi kao dobra aproksimacija pravoj promjeni ordinate y grafike. Ako umjesto toga h napisaćemo simbol dx(ovo nije proizvod!), već promjena ordinate y označimo dy, onda dobijamo dy = f ў ( x)dx, ili dy/dx = f ў ( x) (cm. pirinač. jedanaest). Stoga, umjesto Dy ili f ў ( x) simbol se često koristi za označavanje izvedenice dy/dx. Pogodnost ove notacije zavisi uglavnom od eksplicitnog izgleda pravila lanca (diferencijacija složene funkcije); u novoj notaciji ova formula izgleda ovako:
gde se podrazumeva da at zavisi od u, A u zauzvrat zavisi od X.
Magnituda dy zove diferencijal at; u stvarnosti zavisi od dva varijable, i to: from X i inkrementi dx. Kada je inkrement dx vrlo male veličine dy je blizu odgovarajuće promjene vrijednosti y. Ali pretpostavimo da je prirast dx malo, nema potrebe.
Derivat funkcije y = f(x) odredili smo f ў ( x) ili dy/dx. Često je moguće uzeti derivat izvoda. Rezultat se naziva drugi derivat od f (x) i označava se f ўў ( x) ili d 2 y/dx 2. Na primjer, ako f(x) = x 3 – 3x 2, onda f ў ( x) = 3x 2 – 6x I f ўў ( x) = 6x– 6. Slična notacija se koristi za derivate višeg reda. Međutim, da bi se izbjegao veliki broj poteza (jednak redoslijedu izvedenice), četvrti izvod (na primjer) može se napisati kao f (4) (x), i derivat n-th red as f (n) (x).
Može se pokazati da je kriva u nekoj tački konveksna prema dolje ako je drugi izvod pozitivan, a konveksna prema gore ako je drugi izvod negativan.
Ako funkcija ima drugi izvod, tada se mijenja vrijednost y, što odgovara inkrementu dx varijabla X, može se približno izračunati pomoću formule
Ova aproksimacija je obično bolja od one koju daje diferencijal fў ( x)dx. To odgovara zamjeni dijela krive ne ravnom linijom, već parabolom.
Ako je funkcija f(x) onda postoje derivati višeg reda
Ostatak termina ima oblik
Gdje x- neki broj između x I x + dx. Gornji rezultat naziva se Taylorova formula sa ostatkom. Ako f(x) ima derivate svih redova, tada obično Rn® 0 at n ® Ґ .
INTEGRALNI RAČUN
Kvadrati.
Prilikom proučavanja područja krivolinijskih ravnih figura, otkrivaju se novi aspekti matematičke analize. Probleme ove vrste pokušavali su riješiti stari Grci, za koje je određivanje, na primjer, površine kruga bio jedan od najtežih zadataka. Veliki uspjeh u rješavanju ovog problema postigao je Arhimed, koji je uspio pronaći i površinu paraboličnog segmenta (slika 12). Koristeći veoma složeno rezonovanje, Arhimed je dokazao da je površina paraboličnog segmenta 2/3 površine opisanog pravougaonika i stoga je u ovom slučaju jednaka (2/3)(16) = 32/ 3. Kao što ćemo kasnije vidjeti, ovaj rezultat se lako može dobiti metodama matematičke analize.
Prethodnici Newtona i Leibniza, uglavnom Kepler i Cavalieri, rješavali su probleme izračunavanja površina krivolinijskih figura metodom koja se teško može nazvati logički ispravnom, ali koja se pokazala izuzetno plodnom. Kada je Wallis 1655. spojio metode Keplera i Cavalierija sa Descartesovim metodama (analitička geometrija) i iskoristio novonastalu algebru, pozornica je bila potpuno spremna za pojavu Newtona.
Wallis je figuru, čiju je površinu trebalo izračunati, podijelio na vrlo uske trake, od kojih je svaku otprilike smatrao pravokutnikom. Zatim je sabrao površine aproksimirajućih pravougaonika i u najjednostavnijim slučajevima dobio vrijednost kojoj teži zbir površina pravokutnika kada je broj traka težio beskonačnosti. Na sl. Slika 13 prikazuje pravokutnike koji odgovaraju nekoj podjeli na trake površine ispod krive y = x 2 .
Glavna teorema.
Veliko otkriće Newtona i Leibniza omogućilo je eliminaciju napornog procesa odlaska do granice zbira površina. To je učinjeno zahvaljujući novom pogledu na koncept područja. Poenta je u tome da moramo zamisliti površinu ispod krivulje kao generiranu ordinatom koja se kreće slijeva nadesno i pitati kojom se brzinom mijenja površina koju obrađuju ordinate. Ključ za odgovor na ovo pitanje dobit ćemo ako razmotrimo dva posebna slučaja u kojima je područje unaprijed poznato.
Počnimo s površinom ispod grafa linearne funkcije y = 1 + x, jer se u ovom slučaju površina može izračunati pomoću elementarne geometrije.
Neka A(x) – dio ravni zatvoren između prave y = 1 + x i segment OQ(Sl. 14). Tokom vožnje QP desno područje A(x) povećava. kojom brzinom? Nije teško odgovoriti na ovo pitanje, jer znamo da je površina trapeza jednaka umnošku njegove visine i polovine zbira njegovih baza. dakle,
Stopa promjene područja A(x) određena je njegovom derivacijom
Vidimo to Aў ( x) poklapa se sa ordinatom at bodova R. Je li ovo slučajnost? Pokušajmo provjeriti parabolu prikazanu na sl. 15. Područje A (x) ispod parabole at = X 2 u rasponu od 0 do X jednak A(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Brzina promjene ove površine određena je izrazom
koja se tačno poklapa sa ordinatom at pokretna tačka R.
Ako pretpostavimo da ovo pravilo vrijedi u općem slučaju tako da
je stopa promjene površine ispod grafa funkcije y = f(x), onda se ovo može koristiti za proračune i druga područja. Zapravo, omjer Aў ( x) = f(x) izražava temeljnu teoremu koja bi se mogla formulirati na sljedeći način: derivacija ili brzina promjene površine kao funkcija X, jednako vrijednosti funkcije f (x) u tački X.
Na primjer, da biste pronašli područje ispod grafa funkcije y = x 3 od 0 do X(Sl. 16), stavimo
Mogući odgovor glasi:
budući da je derivat od X 4/4 je zaista jednako X 3. osim toga, A(x) je jednako nuli na X= 0, kako bi trebalo biti ako A(x) je zaista područje.
Matematička analiza dokazuje da nema drugog odgovora osim gornjeg izraza za A(x), ne postoji. Pokažimo da je ova izjava uvjerljiva koristeći sljedeće heurističko (nerigorozno) rezonovanje. Pretpostavimo da postoji neko drugo rješenje IN(x). Ako A(x) I IN(x) „start” istovremeno od nulte vrijednosti na X= 0 i mijenjaju se cijelo vrijeme istom brzinom, onda njihove vrijednosti ne mogu biti X ne može postati drugačiji. Moraju se poklapati svuda; stoga postoji jedinstveno rješenje.
Kako možete opravdati vezu? Aў ( x) = f(x) Uglavnom? Na ovo pitanje se može odgovoriti samo proučavanjem stope promjene površine u funkciji od X Uglavnom. Neka m– najmanja vrijednost funkcije f (x) u rasponu od X prije ( x + h), A M– najveća vrijednost ove funkcije u istom intervalu. Zatim povećanje površine pri kretanju od X Za ( x + h) mora biti zatvoren između površina dva pravougaonika (slika 17). Osnove oba pravougaonika su jednake h. Manji pravougaonik ima visinu m i područje mh, veći, respektivno, M I Mh. Na grafikonu površine naspram X(Sl. 18) jasno je da kada se apscisa promijeni u h, vrijednost ordinate (tj. površina) se povećava za iznos između mh I Mh. Sekantni nagib na ovom grafu je između m I M. šta se dešava kada h teži nuli? Ako je graf funkcije y = f(x) je kontinuiran (tj. ne sadrži diskontinuitete), dakle M, And m Nastojati f(x). Dakle, nagib Aў ( x) graf površine u funkciji od X jednaki f(x). To je upravo zaključak do kojeg je trebalo doći.
Leibniz je predložio područje ispod krive y = f(x) od 0 do A oznaka
U rigoroznom pristupu, ovaj takozvani definitivni integral treba definisati kao granicu određenih suma na Wallisov način. S obzirom na gore dobijeni rezultat, jasno je da je ovaj integral izračunat pod uslovom da možemo pronaći takvu funkciju A(x), koji nestaje kada X= 0 i ima izvod Aў ( x), jednak f (x). Pronalaženje takve funkcije obično se naziva integracijom, iako bi bilo prikladnije nazvati ovu operaciju antidiferencijacijom, što znači da je ona u nekom smislu inverzna diferencijaciji. U slučaju polinoma, integracija je jednostavna. Na primjer, ako
što je lako provjeriti diferenciranjem A(x).
Za izračunavanje površine A 1 ispod krive y = 1 + x + x 2 /2, zatvoreno između ordinata 0 i 1, jednostavno pišemo
i, zamena X= 1, dobijamo A 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Square A(x) od 0 do 2 je jednako A 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Kao što se može vidjeti sa sl. 19, površina zatvorena između ordinata 1 i 2 je jednaka A 2 – A 1 = 11/3. Obično se piše kao određeni integral
Volume.
Slično razmišljanje čini iznenađujuće lakim izračunavanje volumena tijela rotacije. Pokažimo to na primjeru izračunavanja zapremine kugle, još jednog klasičnog problema koji su stari Grci, koristeći im poznate metode, s velikom mukom uspjeli riješiti.
Zarotirajmo dio ravnine koja se nalazi unutar četvrtine kruga polumjera r, pod uglom od 360° oko ose X. Kao rezultat, dobijamo hemisferu (slika 20), čiji volumen označavamo V(x). Moramo odrediti brzinu kojom se povećava V(x) sa povećanjem x. Kretanje iz X To X + h, lako je provjeriti da je prirast volumena manji od volumena str(r 2 – x 2)h kružni cilindar sa radijusom i visinom h, i više od volumena str[r 2 – (x + h) 2 ]h radijus i visina cilindra h. Dakle, na grafu funkcije V(x) ugaoni koeficijent sekansa je između str(r 2 – x 2) i str[r 2 – (x + h) 2 ]. Kada h teži nuli, nagib teži
At x = r dobijamo
za zapreminu hemisfere, pa prema tome 4 p r 3/3 za volumen cijele lopte.
Slična metoda omogućava pronalaženje dužina krivih i površina zakrivljenih površina. Na primjer, ako a(x) – dužina luka PR na sl. 21, onda je naš zadatak da izračunamo aў( x). Na heurističkom nivou koristićemo tehniku koja nam omogućava da ne pribegnemo uobičajenom prolazu do granice, što je neophodno za rigorozni dokaz rezultata. Pretpostavimo da je stopa promjene funkcije A(x) u tački R isto kao što bi bilo kada bi krivulju zamijenila njena tangenta P.T. u tački P. Ali sa Sl. 21 je direktno vidljiv pri iskoračenju h desno ili lijevo od tačke X zajedno RT značenje A(x) mijenja se u
Dakle, brzina promjene funkcije a(x) je
Da pronađe samu funkciju a(x), samo trebate integrirati izraz na desnoj strani jednakosti. Ispostavilo se da je integracija prilično teška za većinu funkcija. Stoga razvoj metoda integralnog računa čini veliki dio matematičke analize.
Antiderivati.
Svaka funkcija čiji je izvod jednak datoj funkciji f(x), naziva se antiderivativnim (ili primitivnim) za f(x). Na primjer, X 3 /3 – antiderivat za funkciju X 2 od ( x 3 /3)ŭ = x 2. Naravno X 3/3 nije jedini antiderivat funkcije X 2 jer x 3 /3 + C je također derivat za X 2 za bilo koju konstantu WITH. Međutim, u onome što slijedi slažemo se da izostavimo takve aditivne konstante. Uglavnom
Gdje n je pozitivan cijeli broj, budući da ( x n + 1/(n+ 1))ŭ = x n. Relacija (1) je zadovoljena u još generalnijem smislu ako n zamijeniti bilo kojim racionalnim brojem k, osim –1.
Proizvoljna antiderivativna funkcija za datu funkciju f(x) se obično naziva neodređenim integralom f(x) i označimo ga u obliku
Na primjer, budući da (grijeh x)ŭ = cos x, formula je važeća
U mnogim slučajevima kada postoji formula za neodređeni integral date funkcije, ona se može naći u brojnim široko objavljenim tabelama neodređenih integrala. Integrali iz elementarnih funkcija su tabelarni (obuhvataju stepene, logaritme, eksponencijalne funkcije, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije, kao i njihove konačne kombinacije dobijene operacijama sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja). Koristeći tablične integrale možete izračunati integrale složenijih funkcija. Postoji mnogo načina za izračunavanje neodređenih integrala; Najčešći od njih je varijabilna supstitucija ili metoda zamjene. Sastoji se u tome da ako želimo zamijeniti u neodređenom integralu (2) x na neku diferencijabilnu funkciju x = g(u), tada je neophodno da bi integral ostao nepromijenjen x zamijenjen sa gў ( u)du. Drugim riječima, jednakost
(zamjena 2 x = u, odakle 2 dx = du).
Predstavimo još jednu metodu integracije - metodu integracije po dijelovima. Zasnovan je na već poznatoj formuli
Integracijom lijeve i desne strane i vodeći računa o tome
Ova formula se zove formula integracije po dijelovima.
Primjer 2. Morate pronaći . Pošto cos x= (grijeh x)ŭ , možemo to napisati
Iz (5), pod pretpostavkom u = x I v= grijeh x, dobijamo
I pošto (–cos x)ŭ = greh x nalazimo to
Treba naglasiti da smo se ograničili samo na vrlo kratak uvod u veoma obimnu temu u kojoj su akumulirane brojne genijalne tehnike.
Funkcije dvije varijable.
Zbog krivine y = f(x) razmotrili smo dva problema.
1) Pronađite ugaoni koeficijent tangente na krivu u datoj tački. Ovaj problem se rješava izračunavanjem vrijednosti derivata fў ( x) na navedenoj tački.
2) Pronađite površinu ispod krive iznad segmenta ose X, omeđen vertikalnim linijama X = A I X = b. Ovaj problem se rješava izračunavanjem određenog integrala.
Svaki od ovih problema ima analogiju u slučaju površine z = f(x,y).
1) Pronađite ravan tangente na površinu u datoj tački.
2) Pronađite zapreminu ispod površine iznad dela ravnine xy, omeđen krivom WITH, a sa strane – okomito na ravan xy prolazeći kroz tačke granične krive WITH (cm. pirinač. 22).
Sljedeći primjeri pokazuju kako se ovi problemi rješavaju.
Primjer 4. Pronađite tangentnu ravan na površinu
u tački (0,0,2).
Ravan je definisana ako su date dve prave koje se u njoj seku. Jedna od ovih pravih linija ( l 1) ulazimo u avion xz (at= 0), sekunda ( l 2) – u avionu yz (x = 0) (cm. pirinač. 23).
Prije svega, ako at= 0, onda z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Derivat u odnosu na X, označeno fў x(x,0) = –2 – 6x, at X= 0 ima vrijednost –2. Pravo l 1 dat jednadžbama z = 2 – 2x, at= 0 – tangenta na WITH 1, linije presjeka površine s ravninom at= 0. Slično, ako X= 0, onda f(0,y) = 2 – y – y 2 , i izvod u odnosu na at izgleda kao
Jer fў y(0,0) = –1, kriva WITH 2 – linija presjeka površine sa ravninom yz– ima tangentu l 2 dat jednadžbama z = 2 – y, X= 0. Željena tangentna ravan sadrži obe prave l 1 i l 2 i zapisuje se jednadžbom
Ovo je jednadžba ravni. Osim toga, primamo direktno l 1 i l 2, pod pretpostavkom, shodno tome, at= 0 i X = 0.
Činjenica da jednačina (7) zaista definira tangentnu ravan može se provjeriti na heurističkom nivou primjećivanjem da ova jednačina sadrži članove prvog reda uključene u jednačinu (6), te da se članovi drugog reda mogu predstaviti u obliku -. Pošto je ovaj izraz negativan za sve vrijednosti X I at, osim X = at= 0, površina (6) leži ispod ravni (7) svuda, osim tačke R= (0,0,0). Možemo reći da je površina (6) u tački konveksna prema gore R.
Primjer 5. Pronađite tangentnu ravan na površinu z = f(x,y) = x 2 – y 2 na početku 0.
Na površini at= 0 imamo: z = f(x,0) = x 2 i fў x(x,0) = 2x. On WITH 1, raskrsnice, z = x 2. U tački O nagib je jednak fў x(0,0) = 0. Na ravni X= 0 imamo: z = f(0,y) = –y 2 i fў y(0,y) = –2y. On WITH 2, raskrsnice, z = –y 2. U tački O nagib krivine WITH 2 je jednako fў y(0,0) = 0. Pošto su tangente na WITH 1 i WITH 2 su sjekire X I at, tangentna ravan koja ih sadrži je ravan z = 0.
Međutim, u blizini ishodišta, naša površina nije na istoj strani tangentne ravni. Zaista, kriva WITH 1 svuda, osim tačke 0, leži iznad tangentne ravni i krive WITH 2 – odnosno ispod njega. Površina siječe tangentnu ravan z= 0 u ravnim linijama at = X I at = –X. Za takvu površinu se kaže da ima tačku sedla u početku (slika 24).
Parcijalni derivati.
U prethodnim primjerima koristili smo derivate od f (x,y) By X i po at. Razmotrimo sada takve derivate u širem smislu. Ako imamo funkciju od dvije varijable, npr. F(x,y) = x 2 – xy, tada možemo odrediti u svakoj tački dva njena “parcijalna izvoda”, jedan diferenciranjem funkcije s obzirom na X i popravljanje at, drugi – razlikovanje po at i popravljanje X. Prvi od ovih derivata se označava kao fў x(x,y) ili ¶ f/¶ x; drugo - kako f f ý y. Ako oba mješovita derivata (od X I at, By at I X) su kontinuirani, onda ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x; u našem primjeru ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ 2 f/¶ y¶ x = –1.
Parcijalni derivat fў x(x,y) označava brzinu promjene funkcije f u tački ( x,y) u pravcu povećanja X, A fў y(x,y) – brzina promjene funkcije f u pravcu povećanja at. Brzina promjene funkcije f u tački ( X,at) u pravcu prave linije koja čini ugao q sa pozitivnim smjerom ose X, naziva se derivacija funkcije f prema; njegova vrijednost je kombinacija dva parcijalna izvoda funkcije f u tangentnoj ravni je skoro jednak (pri malom dx I dy) istinska promjena z na površini, ali je izračunavanje diferencijala obično lakše.
Formula koju smo već razmatrali iz metode promjene promjenljive, poznate kao izvod kompleksne funkcije ili pravilo lanca, u jednodimenzionalnom slučaju kada at zavisi od X, A X zavisi od t, ima oblik:
Za funkcije dvije varijable, slična formula ima oblik:
Koncepte i oznake parcijalne diferencijacije je lako generalizirati na više dimenzije. Posebno, ako je površina implicitno specificirana jednadžbom f(x,y,z) = 0, jednadžbi tangentne ravnine na površinu može se dati simetričniji oblik: jednačina tangentne ravnine u tački ( x(x 2 /4)], zatim integrisan preko X od 0 do 1. Konačan rezultat je 3/4.
Formula (10) se može tumačiti i kao takozvani dvostruki integral, tj. kao granica zbira volumena elementarnih “ćelija”. Svaka takva ćelija ima bazu D x D y i visina jednaka visini površine iznad neke tačke pravougaone osnove ( cm. pirinač. 26). Može se pokazati da su oba gledišta na formulu (10) ekvivalentna. Dvostruki integrali se koriste za pronalaženje centara gravitacije i brojnih momenata koji se susreću u mehanici.
Rigoroznije opravdanje matematičkog aparata.
Do sada smo predstavili koncepte i metode matematičke analize na intuitivnom nivou i nismo se ustručavali da pribegnemo geometrijskim figurama. Ostaje nam da ukratko razmotrimo rigoroznije metode koje su se pojavile u 19. i 20. veku.
Početkom 19. vijeka, kada se završilo doba oluje i pritiska u „stvaranju matematičke analize“, u prvi plan izbijaju pitanja njene opravdanosti. U radovima Abela, Cauchyja i niza drugih istaknutih matematičara, pojmovi „granične“, „kontinuirane funkcije“, „konvergentnog niza“ precizno su definisani. To je bilo neophodno kako bi se uveo logički red u osnovu matematičke analize kako bi ona postala pouzdan alat za istraživanje. Potreba za temeljnim opravdanjem postala je još očiglednija nakon što je Weierstrass 1872. otkrio funkcije koje su svuda bile kontinuirane, ali nigdje diferencibilne (grafikon takvih funkcija ima kink u svakoj tački). Ovaj rezultat je imao zapanjujući učinak na matematičare, jer je bio u suprotnosti sa njihovom geometrijskom intuicijom. Još upečatljiviji primjer nepouzdanosti geometrijske intuicije bila je kontinuirana kriva koju je konstruirao D. Peano, a koja u potpunosti ispunjava određeni kvadrat, tj. prolazeći kroz sve njegove tačke. Ova i druga otkrića dovela su do programa „aritmetizacije“ matematike, tj. čineći ga pouzdanijim zasnivanjem svih matematičkih koncepata koristeći koncept broja. Gotovo puritanska apstinencija od jasnoće u radovima o osnovama matematike imala je svoje istorijsko opravdanje.
Prema modernim kanonima logičke strogosti, neprihvatljivo je govoriti o površini ispod krivulje y = f(x) i iznad segmenta ose X, čak f- kontinuirana funkcija, bez prethodnog definisanja tačnog značenja pojma „područje“ i bez utvrđivanja da tako definisano područje zaista postoji. Ovaj problem je 1854. godine uspješno riješio B. Riemann, koji je dao preciznu definiciju pojma određenog integrala. Od tada, ideja sumiranja iza koncepta određenog integrala bila je predmet mnogih dubinskih studija i generalizacija. Kao rezultat toga, danas je moguće dati značenje određenom integralu, čak i ako je integrand svuda diskontinuiran. Novi koncepti integracije, čijem stvaranju su A. Lebesgue (1875–1941) i drugi matematičari dali veliki doprinos, povećali su snagu i ljepotu moderne matematičke analize.
Teško da bi bilo prikladno ići u detalje o svim ovim i drugim konceptima. Ograničićemo se samo na davanje strogih definicija granice i određenog integrala.
U zaključku, recimo da matematička analiza, kao izuzetno vrijedan alat u rukama naučnika i inženjera, i danas privlači pažnju matematičara kao izvor plodonosnih ideja. Istovremeno, čini se da savremeni razvoj ukazuje da matematičku analizu sve više apsorbuju oni koji su dominirali u 20. veku. grane matematike kao što su apstraktna algebra i topologija.
Sastavio Yu.V.Obrubov
Kaluga - 2012
Uvod u matematičku analizu.
Realni brojevi. Varijable i konstante.
Jedan od osnovnih pojmova matematike je broj.
Zovu se pozitivni brojevi 1,2,3, ... koji se dobiju brojanjem prirodno.
Brojevi... -3,-2,-1,0,1,2,3,... nazivaju se cijeli brojevi. Brojevi koji se mogu izraziti kao konačni omjer dva cijela broja ( 
) su pozvani racionalno.
To uključuje cijele brojeve i razlomke, pozitivne i negativne brojeve. Zovu se brojevi koji su predstavljeni beskonačnim neperiodskim razlomcima iracionalno.
Primjeri iracionalnih brojeva su 
,
. U skupu iracionalnih brojeva postoje transcendentalno
brojevi. To su brojevi koji su rezultat nealgebarskih operacija. Najpoznatiji od njih su broj 
i Neperovo broj 
. Racionalni i iracionalni brojevi se nazivaju validan
. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj liniji. Svaka tačka na brojevnoj pravoj odgovara jednom realnom broju i, obrnuto, svaki realan broj odgovara jednoj tački na brojevnoj pravoj. Tako se uspostavlja korespondencija jedan prema jedan između realnih brojeva i tačaka na brojevnoj pravoj. Ovo omogućava da se pojmovi „broj a“ i „tačka a“ koriste podjednako.
U procesu proučavanja različitih fizičkih, ekonomskih i društvenih procesa često se mora suočiti s veličinama koje predstavljaju numeričke vrijednosti parametara pojava koje se proučavaju. Pritom se neki od njih mijenjaju, dok drugi zadržavaju svoje vrijednosti.
Varijabilna
je veličina koja poprima različite numeričke vrijednosti. Poziva se veličina čija se brojčana vrijednost ne mijenja u datom problemu ili eksperimentu konstantan.
Promjenjive količine se obično označavaju latiničnim slovima 
i konstante 
.
Varijabilna vrijednost 
smatra se datim ako je poznat skup vrijednosti koje može uzeti. Ovaj skup se naziva opseg varijacije varijable.
Postoje različite vrste skupova vrijednosti numeričke varijable.
Interval
je skup vrijednosti x sadržanih između brojeva a i b, dok brojevi a i b ne pripadaju dotičnom skupu. Interval je označen sa: (a,b);a Po segmentu
je skup vrijednosti x sadržanih između brojeva a i b, dok brojevi a i b pripadaju dotičnom skupu. Segment je označen sa ,a≤x≤b. Skup svih realnih brojeva je otvoreni interval. Označava se sa: (- ∞,+ ∞), -∞<х <+∞, R. Susjedstvo tačke x
0
je proizvoljan interval (a,b) koji sadrži tačku x 0, sve tačke ovog intervala zadovoljavaju nejednakost a ε
- susjedstvo tačke a
je interval sa centrom u tački a koji zadovoljava nejednakost a–ε Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize. Neka su X i Y proizvoljni skupovi realnih brojeva. Ako je svaki broj x X, prema nekom pravilu ili zakonu, povezan s jednim dobro definiranim realnim brojem yY, onda kažu da je dato funkcija
sa domenom definicije X i skupom vrijednosti Y. Označava se sa y = f (x). Varijabla x se poziva argument
funkcije. U definiranju funkcije bitne su dvije tačke: ukazivanje na domen definicije i uspostavljanje zakona korespondencije. Domen definicije
ili područje postojanja
Funkcija je skup vrijednosti argumenata za koje funkcija postoji, odnosno ima smisla. Promijenite područje
Funkcija je skup vrijednosti y koje uzima date prihvatljive vrijednosti x. Metode za određivanje funkcije.
Analitička metoda specificiranja funkcije. Ovom metodom specificiranja funkcije, zakon korespondencije se zapisuje u obliku formule (analitičkog izraza) koja pokazuje kroz koje matematičke transformacije se odgovarajuća vrijednost y može pronaći iz poznate vrijednosti argumenta x. Funkcija može biti specificirana pomoću jednog analitičkog izraza u cijelom svom domenu definicije ili predstavlja kolekciju nekoliko analitičkih izraza. Na primjer: y = sin (x 2 + 1) 2. Tabelarni metod specificiranja funkcije Kao rezultat izravnog promatranja ili eksperimentalnog proučavanja bilo kojeg fenomena ili procesa, vrijednosti argumenta x i odgovarajuće vrijednosti y ispisuju se određenim redoslijedom. Ova tablica definira funkciju y od x. Primjer tabelarnog metoda specificiranja funkcije mogu biti tablice trigonometrijskih funkcija, tablice logaritama, datuma i tečajeva, temperatura i vlažnost zraka itd. 3. Grafička metoda specificiranja funkcije. Grafička metoda specificiranja funkcije sastoji se od prikazivanja tačaka (x, y) na koordinatnoj ravni pomoću tehničkih uređaja. U matematičkoj analizi se ne koristi grafička metoda specificiranja funkcije, ali se uvijek koristi grafička ilustracija analitički definiranih funkcija. Prema rečniku ruskog jezika analiza je metoda naučnog istraživanja razmatranjem pojedinačnih aspekata, svojstava i komponenti nečega. Jedna od najvažnijih grana matematike tzv matematička analiza, a često čak i samo analize. Odmah se postavlja pitanje: šta se tačno analizira matematičkom analizom? Odgovor je jasan - funkcije se analiziraju. Funkcija(od latinskog “functionio” - implementacija) predstavlja odnos između varijabilnih numeričkih vrijednosti. Budući da je analiza istraživačka metoda, postavlja se drugo pitanje: šta je ovo metoda? Odgovor daje drugo ime matematičke analize - diferencijalni i integralni račun. Računanje je grana matematike koja postavlja pravila računanja. riječ " diferencijal“ dolazi od latinske riječi “diferencijacija”, tj. razlika. riječ " integral“nema tako jasno porijeklo („integer” – cjelina; „integra” – restauracija), ali ima značenje spajanja dijelova u cjelinu, vraćanja onoga što je razbijeno u razlike. Ovaj oporavak se postiže upotrebom sumiranje. Sumiramo prve rezultate: · Glavni objekti, studirao u matematičkoj analizi su funkcije. · Funkcije su zavisnosti različitih tipova između varijabilnih numeričkih vrijednosti. · Metoda matematičke analize je diferencijacija– rad s razlikama u vrijednostima funkcija, i integracija– obračun iznosa. Dakle, da biste savladali matematičku analizu, prije svega morate razumjeti koncept funkcije. Funkcija je važan matematički koncept jer su funkcije matematički način opisivanja kretanja i promjene. Funkcija je proces. Najvažnija vrsta kretanja je mehaničko pravolinijsko kretanje. Prilikom kretanja mjere se udaljenosti koje pređe objekt, ali to očito nije dovoljno da se u potpunosti opiše kretanje. I Ahil i kornjača mogu se kretati na istu udaljenost od početne tačke, ali njihovo kretanje se razlikuje u brzini, a brzina se ne može mjeriti bez mjerenja vremena. Već iz razmatranja ovog primjera postaje jasno da jedna varijabla nije dovoljna da opiše kretanje i promjenu. Intuitivno je jasno da se vrijeme ravnomjerno mijenja, ali udaljenost se može mijenjati brže ili sporije. Kretanje je u potpunosti opisano ako je u svakom trenutku poznato koliko se objekt pomaknuo od početne točke. Dakle, kod mehaničkog kretanja nastaje korespondencija između vrijednosti dvije promjenjive veličine - vremena, koje se mijenja bez obzira na bilo što, i udaljenosti, koja ovisi o vremenu. Ova činjenica čini osnovu za definiciju funkcije. U ovom slučaju, dvije varijable se više ne zovu vrijeme i udaljenost. Definicija funkcije: funkcija – da li je ovo pravilo ili zakon, dodjeljujući svakoj vrijednosti nezavisne varijable X
specifičnu vrijednost zavisne varijable at
. Nezavisna varijabla X
naziva se argument, a zavisni at
– funkcija. Ponekad se kaže da je funkcija odnos između dvije varijable. Kako vizualizirati šta je varijabla? Varijabla je brojevna linija (ravnalo ili skala) duž koje se kreće točka (termometar ili igla za pletenje sa perlom). Funkcija je mehanizam zupčanika sa dva prozora x i y. Ovaj mehanizam vam omogućava da instalirate u prozor X
bilo koje vrijednosti iu prozoru at
Vrijednost funkcije će se automatski pojaviti pomoću zupčanika. Problem 1. Temperatura pacijenta se mjeri svakih sat vremena. Postoji funkcija - ovisnost temperature o vremenu. Kako predstaviti ovu funkciju? Odgovori: tabela i grafikon. Funkcija je kontinuirana, kao što je kretanje kontinuirano, ali u praksi je nemoguće popraviti taj kontinuitet. Možete uhvatiti samo pojedinačne vrijednosti argumenata i funkcije. Međutim, teoretski je još uvijek moguće opisati kontinuitet. Problem 2. Galileo Galilei je otkrio da slobodno padajuće tijelo prijeđe jednu jedinicu udaljenosti u prvoj sekundi, 3 jedinice u drugoj, 5 jedinica u trećoj, itd. Odrediti ovisnost vremena o udaljenosti. Bilješka: izvesti opću formulu za ovisnost prijeđene udaljenosti od broja udaljenosti. Metode za specificiranje funkcija. Problemi matematičke analize. Prijelaz s jednog prikaza funkcije na drugi (izračunavanje vrijednosti funkcije, konstruiranje približnih analitičkih funkcija iz eksperimentalnih numeričkih i grafičkih podataka, proučavanje funkcija i konstruiranje grafova). Matematičko proučavanje svojstava funkcije kao procesa. Primjer 1: traženje brzine korištenjem poznate funkcije putanje u odnosu na vrijeme (diferencijacija). Primjer 2: pronalaženje puta pomoću poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme (integracija). MATEMATIČKA ANALIZA dio matematike, u kojem funkcije a njihove generalizacije se proučavaju metodom granice. Koncept granice je usko povezan sa konceptom beskonačno male veličine, tako da možemo reći i da je M. a. proučava funkcije i njihove generalizacije koristeći infinitezimalnu metodu. Ime "M. a." - skraćena modifikacija starog naziva ovog dijela matematike - “Analiza infinitezimala”; potonji potpunije otkriva sadržaj, ali je i skraćen (naslov „Analiza pomoću infinitezimala“ preciznije bi karakterizirao predmet). U klasičnom M. a. objekti proučavanja (analize) su prvenstveno funkcije. “Prije svega” jer je razvoj M. a. dovelo je do mogućnosti proučavanja svojim metodama složenijih formacija od , - funkcionala, operatora itd. U prirodi i tehnologiji posvuda se nalaze kretanja i procesi, koji su opisani funkcijama; zakoni prirodnih pojava se također obično opisuju funkcijama. Otuda objektivna važnost M. a. kao sredstvo za proučavanje funkcija. M. a. u širem smislu pojma, pokriva veliki dio matematike. To uključuje diferencijalni, integralni račun, teorija funkcija kompleksne varijable, teorija obične diferencijalne jednadžbe, teorija parcijalne diferencijalne jednadžbe, teorija integralne jednadžbe, varijacijski račun, funkcionalna analiza i neke druge matematičke discipline. Moderna teorija brojeva I teorija vjerovatnoće primjenjuju i razvijaju metode MA. Ipak, termin M. a. često se koristi za imenovanje samo temelja matematičke analize, koji kombinuju teoriju pravi broj teorija granica, teorija redovi, diferencijalni i integralni račun i njihove direktne primjene, kao što su teorija maksimuma i minimuma, teorija implicitne funkcije, Fourierovi redovi, Fourierovi integrali. Funkcija. U M. a. poći od definicije funkcije prema Lobačevskom i Dirichletu. Ako je svaki broj xy određenog skupa Fbrojeva, na osnovu k.-l. zakon je uključen u broj y, onda ovo definira funkciju iz jedne varijable X. Funkcija je definirana slično iz varijabli, gdje x=(x 1 , ..., x str) -
tačka u n-dimenzionalnom prostoru; takođe razmotriti funkcije od bodova x=(x 1 , X 2 ,
...) određenog beskonačno-dimenzionalnog prostora, koji se, međutim, češće nazivaju funkcionalima. Elementarne funkcije. Fundamentalni značaj u M. a. igrati elementarne funkcije. U praksi uglavnom rade s elementarnim funkcijama, koriste se za aproksimaciju funkcija složenije prirode. Elementarne funkcije se mogu razmatrati ne samo za realne, već i za kompleksne x; tada ideje o tim funkcijama postaju, u određenom smislu, potpune. S tim u vezi nastala je važna grana M. tzv. teorija funkcija kompleksne varijable, ili teorija analitičke funkcije. Realni broj. Koncept funkcije je u suštini zasnovan na konceptu realnog (racionalnog i iracionalnog) broja. Konačno je formirana tek krajem 19. vijeka. Konkretno, uspostavljena je logički besprijekorna veza između brojeva i geometrijskih tačaka. prava linija, što je dovelo do formalne potkrepljenja ideja R. Descartesa (R. Descartes, sredina 17. vijeka), koji je u matematiku uveo pravougaone koordinatne sisteme i prikaz funkcija u njima grafovima. Limit. U M. a. metoda proučavanja funkcija je . Pravi se razlika između granice niza i granice funkcije. Ovi koncepti su konačno formirani tek u 19. veku, iako su stari Grci imali ideju o njima. naučnici. Dovoljno je reći da je Arhimed (3. vek pne) bio u stanju da izračuna segment parabole koristeći proces koji bismo nazvali prelazom do granice (vidi. Metoda iscrpljivanja). Kontinuirane funkcije. Formiraju se važne funkcije koje se proučavaju u MA kontinuirane funkcije. Jedna moguća definicija ovog koncepta: funkcija y=f(x).od jedne varijable X, dati na intervalu ( a, b),
pozvao kontinuirano u jednoj tački X, Ako Funkcija je kontinuirana na intervalu ( a, b),
ako je kontinuirano u svim svojim tačkama; onda je to kriva, kontinuirana u svakodnevnom razumijevanju riječi. Derivat i . Među kontinuiranim funkcijama treba izdvojiti funkcije koje imaju derivat. Derivat funkcije u tački je stopa promjene u ovoj tački, tj. granica Ako imate koordinatu tačke koja se kreće duž ordinatne ose u vremenu X, onda je f" (x) trenutna brzina tačke u trenutku X. Predznakom derivacije f" (x) .
prosudite prirodu promjene u f(x): ako je f"(z)>0 ( f"(x) <0
).
na intervalu ( s, d), tada funkcija / raste (smanjuje) na ovom intervalu. Ako funkcija / u tački x dostigne lokalni ekstrem (maksimum ili minimum) i ima derivaciju u ovoj tački, tada je potonji jednak nuli u ovoj tački f"(x 0) = 0. Jednakost (1) može se zamijeniti ekvivalentnom jednakošću gdje je infinitezimalna, kada, tj. ako funkcija f ima izvod u tački X, onda se njegov prirast u ovoj tački razlaže na dva člana. Od ovih, prvi je od (proporcionalno), drugi - teži nuli brže od Pozvana vrijednost (2). diferencijal funkcije koje odgovaraju prirastu At small mogu se smatrati približno jednakim dy: Gore navedena razmatranja o diferencijalu tipična su za MA. Proširuju se na funkcije mnogih varijabli i na funkcionalnosti. Na primjer, ako je funkcija od varijabli ima kontinuirano parcijalni derivati u tački x=(x 1 , ... , x n), zatim njegov prirast
koji odgovaraju priraštajima nezavisnih varijabli mogu se zapisati u obliku gde kada je to ako je sve Ovdje je prvi član na desnoj strani (3) diferencijal dz funkcije f. Zavisi linearno od i drugi član teži nuli brže od Neka je dato (vidi čl. Račun varijacija) prošireno na funkcionalne klase x(t) ,
ima kontinuirani izvod na segmentu i zadovoljava granične uslove x( t 0)=x 0, x( t 1)=x l , Gdje x 0, x 1 - brojevi podataka; neka je, dalje, klasa funkcije h(t) ,
ima kontinuirani izvod na i takav da je h( t 0)=h(t 1)=0. Očigledno, ako U varijacionom računu je dokazano da se, pod određenim uslovima na L, prirast funkcionala J(x) može zapisati u obliku gde i, stoga, drugi član na desnoj strani (4) teži nuli brže od ||h||, a prvi član linearno zavisi od prvog člana u (4) koji se zove. varijacija funkcionala i označava se sa dJ( x, h). Integral. Uz izvod je od fundamentalnog značaja u matematici. Postoje neodređeni i određeni integrali. Neodređeni integral je usko povezan sa antiderivativnom funkcijom. Poziva se funkcija F(x). antiderivat funkcije f na intervalu ( a, b), ako je na ovom intervalu F"(x) =f(x). Definitivni integral (Riemann) funkcije / na intervalu [ a, b]postoji granica Ako je funkcija f pozitivna i kontinuirana na intervalu [ a, b],
tada je njegov integral na ovom segmentu jednak površini figure ograničene krivom y=f(x), os Oh i ravno x=a, x=b. Klasa Riemannovih integrabilnih funkcija sadrži sve kontinuirane funkcije na [ a, b] funkcije i određene diskontinuirane funkcije. Ali svi su oni nužno ograničeni. Za neograničene funkcije koje ne rastu vrlo brzo, kao i za određene funkcije definirane na beskonačnim intervalima, tzv. nepravilni integrali, zahtijevajući dvostruki prolaz do granice za njihovu definiciju. Koncept Riemanovog integrala za funkciju jedne varijable proširuje se na funkcije mnogih varijabli (vidi Višestruki integral). S druge strane, potrebe M. a. dovelo do generalizacije integrala u sasvim drugom pravcu, značenju Lebesgueov integral ili opštije Lebesgue-Stieltjes integral. Suštinski u definiciji ovih integrala je uvođenje za određene skupove, nazvane mjerljivim, koncepta njihove mjere i, na osnovu toga, koncepta mjerljive funkcije. Za mjerljive funkcije uvodi se Lebesgue - Stieltjesov integral. U ovom slučaju se razmatra širok raspon različitih mjera i odgovarajućih klasa mjerljivih skupova i funkcija. Ovo omogućava prilagođavanje jednog ili drugog integrala određenom specifičnom problemu. Newton-Leibnizova formula. Postoji veza između derivacije i integrala, izražena Newton-Leibniz formulom (teorem) Ovdje f(x).kontinuirano na [ a, b] funkcija, a F(x) -
njegov prototip. Formula i Taylor. Uz izvod i integral, najvažniji pojam (instrument za istraživanje) u matematičkoj matematici. su Taylor i Taylor red. Ako je funkcija f(x) , a pozvao po svom Taylorovom polinomu (stepen n).po stepenu x-x 0: (Taylor formula); u ovom slučaju greška aproksimacije teži nuli na brži od Dakle, funkcija f(x).u okolini tačke x 0 može se aproksimirati sa bilo kojim stepenom tačnosti vrlo jednostavnom funkcijom (polinomom), kojoj je potrebna samo aritmetika za njeno izračunavanje. operacije - sabiranje, oduzimanje i množenje. Posebno su važne tzv. funkcije koje su analitičke u određenom susjedstvu x 0 i imaju beskonačan broj izvoda, tako da se za njih u ovom susjedstvu at mogu predstaviti u obliku beskonačnog Taylorovog niza stepena: Pod određenim uslovima, Taylorove ekspanzije su moguće i za funkcije mnogih varijabli, kao i za funkcionale i operatore. Istorijska referenca. Sve do 17. veka M. a. bio je skup rješenja za izolovane određene probleme; na primjer, u integralnom računu, to su problemi izračunavanja površina figura, volumena tijela sa zakrivljenim granicama, rada promjenjive sile itd. Svaki problem ili određeni problem rješavan je svojom metodom, ponekad složenom i glomaznom ( za praistoriju matematike, vidi članak Infinitezimalni račun),
M. a. kao jedinstven i sistematičan cjelina je nastala u radovima I. Newtona, G. Leibniza, L. Eulera, J. Lagrangea i drugih naučnika 17.-18. stoljeća, a svoju teoriju granica razvio je O. Komi (A. Cauchy) u početak. 19. vijek Dubinska analiza početnih koncepata MA. bio je povezan sa razvojem u 19. i 20. veku. teorija skupova, teorija mjera, teorija funkcija realne varijable i dovela do raznih generalizacija. Lit.: La Valle - P u s e n Sh.-J. d e, Kurs analize infinitezimala, trans. sa francuskog, tom 1-2, M., 1933; Ilyin V. A., Poznyak E. G., Osnove matematičke analize, 3. izdanje, 1. dio, M., 1971; 2. izd., 2. dio, M., 1980; Il i N V. A., Sadovnichy V. A., Seidov B. X., Matematička analiza, M., 1979; K u d r i v c e v L. D., Matematička analiza, 2. izdanje, tom 1-2, M., 1973; Nikolsky S. M., Kurs matematičke analize, 2. izdanje, tom 1-2, M., 1975; U i t e k e r E. T., V a t s o n D J. N., Kurs savremene analize, prev. s engleskog, dijelovi 1-2, 2. izd., M., 1962-63; F ikhtengolts G.M., Kurs diferencijalnog i integralnog računa, 7. izdanje, tom 1-2, M., 1970; 5. izdanje, tom 3, M., 1970. S. M. Nikolsky. Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985. MATEMATIČKA ANALIZA, skup grana matematike posvećenih proučavanju funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa... Moderna enciklopedija Skup grana matematike posvećenih proučavanju funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa. Termin je više pedagoški nego naučni: predmeti matematičke analize se predaju na univerzitetima i tehničkim školama... Veliki enciklopedijski rječnik engleski matematička analiza njemački mathematische Analysis. Grana matematike posvećena proučavanju funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa. Antinazi. Enciklopedija sociologije, 2009 ... Enciklopedija sociologije Postojeći, broj sinonima: 2 matan (2) matematička analiza (2) Rječnik sinonima ASIS. V.N. Trishin. 2013… Rečnik sinonima MATEMATIČKA ANALIZA- MATEMATIČKA ANALIZA. Skup grana matematike posvećenih proučavanju matematičkih funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa. Upotreba M. a. metoda. je efikasno sredstvo za rješavanje najvažnijih ... ... Novi rječnik metodičkih pojmova i pojmova (teorija i praksa nastave jezika) matematička analiza- — EN matematička analiza Grana matematike koja se najeksplicitnije bavi graničnim procesom ili konceptom konvergencije; uključuje teorije diferencijacije,…… Vodič za tehnički prevodilac Matematička analiza- MATEMATIČKA ANALIZA, skup grana matematike posvećenih proučavanju funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa. ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik U istoriji matematike možemo grubo razlikovati dva glavna perioda: osnovnu i modernu matematiku. Prekretnica od koje je uobičajeno računati eru nove (ponekad zvane i više) matematike bio je 17. vek - vek pojave matematičke analize. Do kraja 17. vijeka. I. Newton, G. Leibniz i njihovi prethodnici stvorili su aparat za novi diferencijalni račun i integralni račun, koji čini osnovu matematičke analize, pa čak i, možda, matematičku osnovu svih modernih prirodnih nauka. Matematička analiza je široko polje matematike sa karakterističnim predmetom proučavanja (varijabilna veličina), jedinstvenom metodom istraživanja (analiza pomoću infinitezimala ili putem prijelaza do granica), određenim sistemom osnovnih pojmova (funkcija, granica, derivacija). , diferencijalna, integralna, serija) i stalno se usavršava i razvija se aparat, čiju osnovu čine diferencijalni i integralni račun. Pokušajmo dati predstavu o tome kakva se matematička revolucija dogodila u 17. stoljeću, šta karakterizira prijelaz povezan s rođenjem matematičke analize od elementarne matematike do onoga što je danas predmet istraživanja u matematičkoj analizi, i šta objašnjava njenu temeljnu ulogu u cjelokupnom savremenom sistemu teorijskih i primijenjenih znanja. Zamislite da je ispred vas predivno izvedena fotografija u boji olujnog okeanskog vala koji juri na obalu: moćna pognuta leđa, strma, ali blago utonula prsa, glava već nagnuta naprijed i spremna da padne sa sivom grivom izmučenom vjetar. Zaustavili ste trenutak, uspjeli ste uhvatiti val i sada ga bez žurbe možete pažljivo proučiti do svakog detalja. Val se može izmjeriti, a pomoću alata elementarne matematike možete izvući mnoge važne zaključke o ovom valu, a time i o svim njegovim okeanskim sestrama. Ali zaustavljanjem talasa lišili ste ga kretanja i života. Njegovo porijeklo, razvoj, trčanje, sila kojom udara o obalu - sve se to pokazalo izvan vašeg vidnog polja, jer još nemate ni jezik ni matematički aparat pogodan za opisivanje i proučavanje ne statičnog, već razvojni, dinamički procesi, varijable i njihovi odnosi. “Matematička analiza nije ništa manje sveobuhvatna od same prirode: ona određuje sve opipljive odnose, mjeri vremena, prostore, sile, temperature.” J. Fourier Kretanje, varijable i njihovi odnosi okružuju nas svuda. Različite vrste kretanja i njihovi obrasci čine glavni predmet proučavanja specifičnih nauka: fizike, geologije, biologije, sociologije itd. Stoga se precizan jezik i odgovarajuće matematičke metode za opisivanje i proučavanje promjenjivih veličina ispostavile kao neophodne u svim oblastima znanje u približno istom obimu kao i brojevi i aritmetika su neophodni za opisivanje kvantitativnih odnosa. Dakle, matematička analiza čini osnovu jezika i matematičkih metoda za opisivanje varijabli i njihovih odnosa. U današnje vrijeme, bez matematičke analize, nemoguće je ne samo izračunati svemirske putanje, rad nuklearnih reaktora, kretanje oceanskih valova i obrasce razvoja ciklona, već i ekonomično upravljati proizvodnjom, raspodjelom resursa, organizacijom tehnoloških procesa, predvidjeti tok hemijskih reakcija ili promena u broju različitih vrsta međusobno povezanih u prirodi životinja i biljaka, jer su sve to dinamički procesi. Elementarna matematika je uglavnom bila matematika konstantnih veličina, proučavala je uglavnom odnose između elemenata geometrijskih figura, aritmetička svojstva brojeva i algebarskih jednačina. Njegov odnos prema stvarnosti donekle se može uporediti s pažljivim, čak temeljitim i potpunim proučavanjem svakog fiksnog kadra filma koji u svom kretanju hvata promjenjivi živi svijet koji se razvija, a koji se, međutim, ne vidi u zasebnom kadru i što se može uočiti samo gledajući traku u cjelini. Ali kao što je kinematografija nezamisliva bez fotografije, tako je i moderna matematika nemoguća bez onog njenog dijela koji konvencionalno nazivamo elementarnim, bez ideja i dostignuća mnogih istaknutih naučnika, ponekad razdvojenih desetinama vjekova. Matematika je ujedinjena, a njen „viši“ deo je povezan sa „elementarnim“ delom na isti način kao što je sledeći sprat kuće u izgradnji povezan sa prethodnim, a širina horizonata koje matematika otvara nama u svetu oko nas zavisi od toga na koji sprat ove zgrade smo uspeli da se podignemo. Rođen u 17. veku. matematička analiza nam je otvorila mogućnosti da naučno opišemo, kvantitativno i kvalitativno proučavamo varijable i kretanje u širem smislu te riječi. Koji su preduslovi za nastanak matematičke analize? Do kraja 17. vijeka. Nastala je sljedeća situacija. Prvo, u okviru same matematike, dugi niz godina, akumulirale su se neke važne klase problema istog tipa (npr. problemi mjerenja površina i volumena nestandardnih figura, problemi povlačenja tangenti na krive) i metode za pojavilo se njihovo rješavanje u raznim posebnim slučajevima. Drugo, pokazalo se da su ovi problemi usko povezani s problemima opisivanja proizvoljnog (ne nužno ravnomjernog) mehaničkog kretanja, a posebno s proračunom njegovih trenutnih karakteristika (brzina, ubrzanje u bilo kojem trenutku), kao i sa pronalaženjem pređenu udaljenost za kretanje koje se odvija pri datoj promjenjivoj brzini. Rješenje ovih problema bilo je neophodno za razvoj fizike, astronomije i tehnologije. Konačno, treće, sredinom 17. vijeka. radovi R. Descartesa i P. Fermata postavili su temelje analitičke metode koordinata (tzv. analitičke geometrije), koja je omogućila formulisanje geometrijskih i fizičkih problema heterogenog porijekla općim (analitičkim) jezikom brojeva. i numeričke zavisnosti, ili, kako sada kažemo, numeričke funkcije. NIKOLAY NIKOLAEVICH LUZIN
N. N. Luzin - sovjetski matematičar, osnivač sovjetske škole teorije funkcija, akademik (1929). Luzin je rođen u Tomsku i studirao je u gimnaziji u Tomsku. Formalizam gimnazijskog matematičkog kursa otuđio je talentovanog mladića i samo je sposoban nastavnik mogao da mu otkrije lepotu i veličinu matematičke nauke. Godine 1901. Luzin je ušao na odsjek matematike na Fakultetu fizike i matematike Moskovskog univerziteta. Od prvih godina studija, pitanja vezana za beskonačnost spadaju u krug njegovih interesovanja. Krajem 19. vijeka. Njemački naučnik G. Cantor stvorio je opću teoriju beskonačnih skupova, koja je dobila brojne primjene u proučavanju diskontinuiranih funkcija. Luzin je počeo da izučava ovu teoriju, ali su mu studije prekinute 1905. Student, koji je učestvovao u revolucionarnim aktivnostima, morao je na neko vreme da ode u Francusku. Tamo je slušao predavanja najistaknutijih francuskih matematičara tog vremena. Po povratku u Rusiju, Luzin je diplomirao na univerzitetu i bio je ostavljen da se priprema za profesorsko zvanje. Ubrzo ponovo odlazi u Pariz, a potom u Getingen, gde se zbližava sa mnogim naučnicima i piše svoje prve naučne radove. Glavni problem koji je zanimao naučnika bilo je pitanje da li mogu postojati skupovi koji sadrže više elemenata od skupa prirodnih brojeva, ali manje od skupa tačaka na segmentu (problem kontinuuma). Za bilo koji beskonačan skup koji bi se mogao dobiti iz segmenata korištenjem operacija ujedinjenja i presjeka prebrojivih zbirki skupova, ova hipoteza je bila zadovoljena, a da bi se riješio problem, bilo je potrebno otkriti koji drugi načini postoje za konstruiranje skupova . Istovremeno, Luzin je proučavao pitanje da li je moguće bilo koju periodičnu funkciju, čak i onu sa beskonačno mnogo tačaka diskontinuiteta, predstaviti kao zbir trigonometrijskog niza, tj. zbir beskonačnog broja harmonijskih vibracija. Po tim pitanjima Luzin je postigao niz značajnih rezultata i 1915. godine odbranio je disertaciju „Integralni i trigonometrijski nizovi“, za koju mu je odmah dodeljen akademski stepen doktora čiste matematike, zaobilazeći tada postojao srednji magistarski stepen. . Godine 1917. Luzin je postao profesor na Moskovskom univerzitetu. Talentovan nastavnik, privlačio je najsposobnije učenike i mlade matematičare. Luzinova škola dostigla je svoj vrhunac u prvim postrevolucionarnim godinama. Luzinovi učenici formirali su kreativni tim, koji su u šali nazvali „Luzitanija“. Mnogi od njih su još kao studenti dobili prvoklasne naučne rezultate. Na primjer, P. S. Aleksandrov i M. Ya. Suslin (1894-1919) otkrili su novu metodu za konstruiranje skupova, koja je poslužila kao početak razvoja novog pravca - deskriptivne teorije skupova. Istraživanja u ovoj oblasti koju su proveli Luzin i njegovi učenici su pokazala da uobičajene metode teorije skupova nisu dovoljne za rješavanje mnogih problema koji se u njoj pojavljuju. Luzinova naučna predviđanja u potpunosti su potvrđena 60-ih godina. XX vijek Mnogi učenici N. N. Luzina kasnije su postali akademici i dopisni članovi Akademije nauka SSSR-a. Među njima je i P. S. Aleksandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentjev, L. A. Ljusternik, D. E. Menšov, P. S. Novikov. L. G. Shnirelman i drugi. Moderni sovjetski i strani matematičari u svojim djelima razvijaju ideje N. N. Luzina. Stjecaj ovih okolnosti doveo je do toga da je krajem 17.st. dva naučnika - I. Newton i G. Leibniz - neovisno jedan od drugog uspjeli su stvoriti matematički aparat za rješavanje ovih problema, sumirajući i generalizirajući pojedinačne rezultate svojih prethodnika, uključujući drevnog naučnika Arhimeda i savremenike Newtona i Leibniza - B. Cavalieri, B. Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Ovaj aparat činio je osnovu matematičke analize – nove grane matematike koja proučava različite razvojne procese, tj. relacije između varijabli, koje se u matematici nazivaju funkcionalne zavisnosti ili, drugim riječima, funkcije. Inače, sam termin „funkcija“ je bio potreban i prirodno je nastao upravo u 17. veku, a do sada je dobio ne samo opšte matematičko, već i opštenaučno značenje. Početne informacije o osnovnim pojmovima i matematičkom aparatu analize date su u člancima “Diferencijalni račun” i “Integralni račun”. U zaključku, želio bih se zadržati na samo jednom principu matematičke apstrakcije, zajedničkom za svu matematiku i karakterističan za analizu, i s tim u vezi objasniti u kojem obliku matematička analiza proučava varijable i koja je tajna takve univerzalnosti njenih metoda za proučavanje. sve vrste specifičnih razvojnih procesa i njihovih međusobnih odnosa. Pogledajmo nekoliko ilustrativnih primjera i analogija. Ponekad više ne shvaćamo da je, na primjer, matematička relacija napisana ne za jabuke, stolice ili slonove, već u apstraktnom obliku apstrahiranom od određenih objekata, izvanredno znanstveno dostignuće. Ovo je matematički zakon koji je, kako iskustvo pokazuje, primjenjiv na različite specifične objekte. To znači da proučavajući u matematici opšta svojstva apstraktnih, apstraktnih brojeva, mi time proučavamo kvantitativne odnose stvarnog svijeta. Na primjer, iz školskog kursa matematike poznato je da se, dakle, u konkretnoj situaciji može reći: „Ako mi ne daju dva kipera od šest tona da prevezem 12 tona zemlje, onda mogu pitati za tri kipera od četiri tone i posao će biti obavljen, a ako mi daju samo jedan kiper od četiri tone, onda će ona morati da obavi tri leta.” Dakle, apstraktni brojevi i numerički obrasci koji su nam sada poznati povezani su s njihovim specifičnim manifestacijama i primjenama. Zakoni promjene specifičnih varijabli i razvojnih procesa prirode povezani su na približno isti način sa apstraktnom, apstraktnom formom-funkcijom u kojoj se pojavljuju i proučavaju u matematičkoj analizi. Na primjer, apstraktni omjer može odražavati ovisnost kino blagajne o broju prodatih karata, ako je 20 20 kopejki - cijena jedne karte. Ali ako se vozimo biciklom na autoputu, putujući 20 km na sat, onda se ovaj isti omjer može tumačiti kao odnos između vremena (sati) našeg biciklističkog putovanja i pređene udaljenosti za to vrijeme (kilometri). uvijek recite da, na primjer, promjena od nekoliko puta dovodi do proporcionalne (tj. istog broja puta) promjene vrijednosti , a ako je , onda je istinit i suprotan zaključak. To posebno znači, da biste udvostručili blagajne kina, morat ćete privući dvostruko više gledatelja, a da biste biciklom putovali dvostruko više istom brzinom, morat ćete se voziti duplo duže . Matematika proučava i najjednostavniju zavisnost i druge, mnogo složenije zavisnosti u opštem, apstraktnom obliku, apstrahovanom iz određene interpretacije. Svojstva funkcije ili metoda za proučavanje ovih svojstava identificiranih u takvoj studiji bit će prirode općih matematičkih tehnika, zaključaka, zakona i zaključaka primjenjivih na svaku specifičnu pojavu u kojoj se javlja funkcija koja se proučava u apstraktnom obliku, bez obzira u kojoj oblasti znanja kojoj pripada ovaj fenomen. Dakle, matematička analiza kao grana matematike oblikovala se krajem 17. vijeka. Predmet proučavanja matematičke analize (kako to izgleda sa savremenih pozicija) su funkcije ili, drugim rečima, zavisnosti između promenljivih veličina. Sa pojavom matematičke analize, matematika je postala dostupna proučavanju i refleksiji razvojnih procesa u stvarnom svijetu; matematika je uključivala varijable i kretanje.Funkcija. Osnovne definicije i koncepti.
|
sljedeće predavanje ==>
Kreativna stavka: Sveske provjerava X (ko?) nastavnik |
Pogledajte šta je "MATEMATIČKA ANALIZA" u drugim rječnicima:
(1883-1950)
